Beweis Eigenschaft L-Integral < Integrationstheorie < Maß/Integrat-Theorie < Analysis < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
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| Aufgabe | Seien [mm] $f,g:E\to\IR$ [/mm] messbar, beschränkt und [mm] $\mu(E)<\infty$
[/mm]
i) $f=g$ fast überall auf $E [mm] \Rightarrow \int_E f\; d\mu [/mm] = [mm] \int_E [/mm] g [mm] \; d\mu$ [/mm] |
Hallo,
zur obigen Eigenschaft habe ich folgenden Beweis aus der Vorlesung:
[mm] $\int [/mm] f [mm] \; d\mu [/mm] = [mm] \sup_{\varphi \le f} \int \varphi \; d\mu =\sup_{\varphi \le f \text{ f.ü.}} \int \varphi \; d\mu =\sup_{\varphi \le g \text{ f.ü.}} \int \varphi \; d\mu [/mm] = [mm] \int [/mm] g [mm] \; d\mu$
[/mm]
wobei hier [mm] \varphi [/mm] eine einfache Funktion.
Ich selber würde den Beweis etwas anders machen, wollte mal fragen, ob das dann so auch ok ist:
f=g f.ü. bedeutet ja f(x)=g(x) für alle [mm] $x\in [/mm] E-N$ mit eine Lebesgue Nullmenge N.
Also:
[mm] $\int_E [/mm] f [mm] \; d\mu [/mm] = [mm] \int_{E-N} [/mm] f [mm] \; d\mu [/mm] + [mm] \int_N [/mm] f [mm] \; d\mu [/mm] = [mm] \int_{E-N} [/mm] f [mm] \; d\mu =\int_{E-N} [/mm] g [mm] \; d\mu [/mm] = [mm] \int_{E-N} [/mm] g [mm] \; d\mu [/mm] + [mm] \int_N [/mm] g [mm] \; d\mu [/mm] = [mm] \int_E [/mm] g [mm] \; d\mu$
[/mm]
Da das Integral über eine Nullmenge ja Null ist.
Kann man das so machen oder habe ich dabei was übersehen?
Danke, viele Grüße
Patrick
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| Status: |
(Antwort) fertig  | | Datum: | 19:41 Do 09.04.2009 | | Autor: | Blech |
> f=g f.ü. bedeutet ja f(x)=g(x) für alle [mm]x\in E-N[/mm] mit eine
> Lebesgue Nullmenge N.
>
> Also:
> [mm]\int_E f \; d\mu = \int_{E-N} f \; d\mu + \int_N f \; d\mu = \int_{E-N} f \; d\mu =\int_{E-N} g \; d\mu = \int_{E-N} g \; d\mu + \int_N g \; d\mu = \int_E g \; d\mu[/mm]
>
Bei solchen Beweisen kommt es immer sehr darauf an, wie ihr Sachen davor definiert habt, und welche Sätze zur Verfügung stehen.
Im Prinzip finde ich Deinen Beweis schöner.
> Da das Integral über eine Nullmenge ja Null ist.
Folgt auch wegen der Beschränktheit von f und g sofort, weil man die Funktion in ein Rechteck packen kann.
ciao
Stefan
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| Status: |
(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 19:44 Do 09.04.2009 | | Autor: | XPatrickX |
Alles klar,
danke Dir Stefan.
LG Patrick
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