Beweis, E(X) Bernoulli = n*p < Wahrscheinlichkeit < Stochastik < Oberstufe < Schule < Mathe < Vorhilfe
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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 18:22 Fr 03.05.2013 | | Autor: | JKasp |
| Aufgabe | Beweis, dass der Erwartungswert bei Bernoulliversuchen das Produkt von n und p ist, wenn allgemein gilt:
[mm] E(X)=\summe_{i=1}^{N} x_i [/mm] * [mm] p(X=x_i) [/mm] |
Ich habe diese Frage in keinem Forum auf anderen Internetseiten gestellt.
Wir haben im Unterricht durch Beispiele für n=1, n=2, n=3 und n=4 gezeigt, dass immer [mm] n*p(p+q)^n [/mm] herauskommt, die Klammer zusammengefasst ergibt 1, also n*p*1=n*p.
Nur wenn ich Versuche zu beweisen, dass das immer der Fall ist, muss ich anstelle von definiertem n die Variable n nehmen.
Dann müsste ich also diesen Term:
[mm] \summe_{k=1}^{N} [/mm] k* [mm] {n\choose k} [/mm] * [mm] p^k [/mm] * q^(n-k) nach p*n hin umformen, allerdings weiß ich nicht, wie das mit nem Summenzeichen und Binomialkoeffizienten funktionieren soll.
Ich hoffe, Ihr könnt mir helfen :)
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Moin und Willkommen hier bei dem Haufen Matheverrückten,
> Beweis, dass der Erwartungswert bei Bernoulliversuchen das
> Produkt von n und p ist, wenn allgemein gilt:
> [mm]E(X)=\summe_{i=1}^{N} x_i\cdot p(X=x_i)[/mm]
>
> Wir haben im Unterricht durch Beispiele für n=1, n=2, n=3
> und n=4 gezeigt, dass immer [mm]n*p(p+q)^n[/mm] herauskommt, die
> Klammer zusammengefasst ergibt 1, also n*p*1=n*p.
Gut
>
> Nur wenn ich Versuche zu beweisen, dass das immer der Fall
> ist, muss ich anstelle von definiertem n die Variable n
> nehmen.
Das ist richtig.
> Dann müsste ich also diesen Term:
> [mm]\summe_{k=1}^{N}[/mm] k* [mm]{n\choose k}[/mm] * [mm]p^k[/mm] * q^(n-k)
> nach p*n hin umformen, allerdings weiß ich nicht, wie das
> mit nem Summenzeichen und Binomialkoeffizienten
> funktionieren soll.
Da gibt es verschiedene Ansätze. Willst du wirklich direkt es durchrechnen?
Möglichkeit 1:
Stupides durchrechnen. In der Tat gilt allgemein [mm]\mathbb{E}[X]=\sum_{k=0}^n k\binom nk p^k (1-p)^{n-k}[/mm]. Da muss man aber "fit" beim Umgang mit dem Binomialkoeffizienten sein. Die Idee ist aus der Summe den Faktor [mm]np[/mm] herauszuziehen und den Rest solange zu "zerrechnen" bis er 1 wird. Die Schritte wären:
- Faktor [mm]np[/mm] herausziehen, also [mm]\mathbb{E}[X]=np\cdot \sum_{k=0}^n \text{Rest}[/mm].
- im Rest die Definition vom Binomialkoeffizienten einsetzen ([mm]\binom nk = \frac{n!}{k! \cdot (n-k)!}[/mm])
- diverse Substitutionen
Möglichkeit 2:
(sehr elegant)
Man nutzt den Binomischen Lehrsatz, der da lautet [mm](x+y)^n=\sum ?[/mm].
Und leitet beide Seiten nach [mm]x[/mm] ab. Dann starrt man mehrfach auf die Zeile und substituiert die Variablen geschickt. Fertig!
Möglichkeit 3:
Im Prinzip beschreibt die Zufallsvariable [mm]X[/mm] das Eintreten von mehreren einzelnen Ereignissen. Zum Beispiel kannst du ja damit ausrechnen, wie groß die Wahrscheinlichkeit ist bei 50 Würfen genau 8 mal eine Fünf zu würfeln. Jeder Wurf ist dabei unabhängig und kann durch eine einzelne Zufallsvariable beschrieben werden, etwa so:
X = Anzahl von Fünfen bei 50 Würfen
[mm]X_i=\begin{cases} 1, & \textrm{falls im i-ten Versuch Fünf gewürfelt} \\ 0, & \textrm{falls im i-ten Versuch keine Fünf gewürfelt} \end{cases}[/mm]
Also ist [mm]X=X_1+X_2+\cdots +X_{49}+X_{50}[/mm]. Falls ihr schon für die Bernoulliverteilung den Erwartungswert berechnet habt, so kennst du [mm]\mathbb{E}X_i[/mm] und für den Erwartungswert gilt [mm]\mathbb{E}[X+Y]=\mathbb{E}[X]+\mathbb{E}[Y][/mm]. Allgemein suchst du
[mm]\mathbb{E}[X]=\mathbb{E}[X_1+X_2+\ldots+X_{n-1}+X_n][/mm].
Frage an dich: Welche der Möglichkeiten möchtest du probieren? Ich denke, dass es gut wäre, wenn du ein paar Sachen probierst und diese hier präsentierst. Immerhin hattest du einen Antwortzeitraum von 29 Tagen angegeben.
Falls es überhaupt nicht geht, einfach Fragen stellen. Da findest sich immer jemand. Wenn du wirklich "Tor 1" wählst, so findest sich hier jemand, der sich mit dir gerne gemeinsam durch die Rechnung wühlt. Ich wollte nur schreiben, dass es auch bequemer geht. Ansonsten steht ja oben der erste Schritt.
Gruß
wieschoo
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 10:58 Sa 04.05.2013 | | Autor: | JKasp |
| Aufgabe | | [mm] \summe_{k=1}^{n} [/mm] k* [mm] \bruch{n!}{k!*(n-k)!} *p^k [/mm] * (1-p)^(n-k) |
Am liebsten wäre mir, wenn wir Möglichkeit 1 und 2 durchgehen würden.
Zu 1.:
Um zunächst n herauszuziehen, klammere ich dieses aus dem Binomialkoeffizienten aus, oder?:
n* [mm] \summe_{k=1}^{n} [/mm] k* [mm] \bruch{(n-1)!}{k!*(n-1-k)!} *p^k [/mm] * (1-p)^(n-k)
Soweit das richtig war, wie komme ich jetzt an das p ohne Exponenten?
Zu 2.:
[mm] (p+q)^n [/mm] = [mm] \summe_{k=1}^{n} \vektor{n \\ k} [/mm] * [mm] p^k [/mm] * p^(n-k)
Leider scheine ich nicht mehr fit im Umformen zu sein, mir fällt einfach kein Weg ein, wie ich an p kommen könnte, durch logarithmieren käme ich auf das n auf der linken Seite, aber sähe die gesamte Gleichung dann so aus?:
[mm] (p+q)^n [/mm] = [mm] \summe_{k=1}^{n} \vektor{n \\ k} [/mm] * [mm] p^k [/mm] * p^(n-k) | log n
n * log(p+q) = n*log( [mm] \summe_{k=1}^{n} \vektor{n \\ k} [/mm] * [mm] p^k [/mm] * p^(n-k) )
Ich sehe den Sinn darin noch nicht...
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> [mm]\summe_{k=\red{1}}^{n} k* \bruch{n!}{k!*(n-k)!} *p^k *(1-p)^(n-k)[/mm]
> Am liebsten wäre mir, wenn wir Möglichkeit 1 und 2
> durchgehen würden.
>
> Zu 1.:
> Um zunächst n herauszuziehen, klammere ich dieses aus dem
> Binomialkoeffizienten aus, oder?:
>
[mm]\green{\mathbb{E}[X]=} n* \summe_{k=\green{0}}^{n} k* \bruch{(n-1)!}{k!*(\green{n-k})!} *p^k *(1-p)^{n-k\green{+1-1}}[/mm]
Ich habe mal korrigiert und ergänzt. Der nächste Schritt ist in
[mm]\green{\mathbb{E}[X]=} n* \sum_{k=\green{0}}^{n} \blue{k}* \underbrace{\frac{(n-1)!}{\blue{k!}*(\green{n-k})!}}_{(\star)} *p^k *(1-p)^{(n-1)-(k-1)}[/mm]
noch ein p aus der Summe herauszuziehen und danach ein k zu kürzen. Und danach [mm] $\star$ [/mm] wieder als Binomialkoeffizient aufzuschreiben.
>
> Soweit das richtig war, wie komme ich jetzt an das p ohne
> Exponenten?
Ausklammern: [mm] $a\cdot p^k \cdot [/mm] blub=pßcdot [mm] a\cdot p^{k-1}\cdot [/mm] blub$.
>
>
> Zu 2.:
>
> [mm](p+q)^n=\sum_{k=0}^{n} \binom{n}{k}*p^k* \green{q}^{n-k}[/mm]
>
> Leider scheine ich nicht mehr fit im Umformen zu sein, mir
> fällt einfach kein Weg ein, wie ich an p kommen könnte,
> durch logarithmieren käme ich auf das n auf der linken
> Seite, aber sähe die gesamte Gleichung dann so aus?:
>
> [mm](p+q)^n=\summe_{k=\red{1}}^{n} \vektor{n \\ k}*p^k * \red{p}\red{}^(n-k)| log n[/mm]
>
>
> [mm]n * log(p+q) = n*log( \summe_{k=\red{1}}^{n} \vektor{n \\ k} *p^k * \red{p}^(n-k) )[/mm]
>
Das habe ich auch nicht geschrieben.
Die Idee ist die Gleichung:
[mm]{\color{RawSienna}(p+q)^n}={\color{RedViolet}\sum_{k=0}^{n} \binom{n}{k}*p^k* q^{n-k}}[/mm]
getrennt nach p abzuleiten, etwa
[mm] \frac{\mathrm{d} }{\mathrm{d} p} {\color{RawSienna}(p+q)^n}=n(p+q)^{n-1}[/mm]
[mm] \frac{\mathrm{d} }{\mathrm{d} p} {\color{RedViolet}\sum_{k=0}^{n} \binom{n}{k}*p^k* q^{n-k}}=?[/mm]
> Ich sehe den Sinn darin noch nicht...
Glaub mir, wenn du beides abgeleitet hast und die Ableitungen nebeneinander schreibst, so steht alles da.
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(Frage) überfällig  | | Datum: | 19:19 Sa 04.05.2013 | | Autor: | JKasp |
| Aufgabe | | Beweis für E(X)=n*p bei Bernoulliversuchen. |
Okay, habe jetzt beide Wege versucht, das sah bei mir so aus:
Möglichkeit 1:
E(X) = n * [mm] \summe_{k=0}^{n} [/mm] k * [mm] \bruch{(n-1)!}{k!(n-k)!} [/mm] * [mm] p^k [/mm] * [mm] (1-p)^{n-k+1-1} [/mm] // Wieso dieses: "+1-1" ?
Jetzt das p herausholen:
E(X) = n * p * [mm] \summe_{k=0}^{n} [/mm] k * [mm] \bruch{(n-1)!}{k!(n-k)!} [/mm] * [mm] p^{k-1} [/mm] * [mm] (1-p)^{n-k+1-1} [/mm]
Jetzt das k direkt nach dem Summenzeichen kürzen:
E(X) = n * p * [mm] \summe_{k=0}^{n} \bruch{(n-1)!}{(k-1)!(n-k)!} [/mm] * [mm] p^{k-1} [/mm] * [mm] (1-p)^{n-k+1-1} [/mm]
Jetzt den Bruch in die Binomialkoeffizientenform bringen:
E(X) = n * p * [mm] \summe_{k=0}^{n} \vektor{n-1 \\ k-1} [/mm] * [mm] p^{k-1} [/mm] * [mm] (1-p)^{n-k+1-1} [/mm]
Kann man jetzt anstelle der Summe mit dem Binomischen Lehrsatz [mm] (p+q)^{n-1} [/mm] schreiben?
Sodass die Gleichung dann so aussieht?:
[mm] E(X)=n*p*(p+q)^{n-1}
[/mm]
Da sich p+q auflösen, würde das dann 1 ergeben:
E(X)=n*p*1 bzw E(X)=n*p
________________________________
Zur 2. Möglichkeit:
[mm] (p+q)^n [/mm] = [mm] \summe_{k=0}^{n} \vektor{n \\ k} [/mm] * [mm] p^{k} [/mm] * [mm] (1-p)^{n-k} [/mm]
Linke Seite, p ableiten:
[mm] (p+q)^n [/mm] =abgeleitet= [mm] n(p+q)^{n-1}
[/mm]
Rechte Seite, p ableiten:
[mm] \summe_{k=0}^{n} \vektor{n \\ k} [/mm] * [mm] p^{k} [/mm] * [mm] (1-p)^{n-k} [/mm]
=abgeleitet=
[mm] \summe_{k=0}^{n} [/mm] k * [mm] \vektor{n \\ k} [/mm] * [mm] p^{k-1} [/mm] * [mm] (1-p)^{n-k} [/mm]
Soweit ich es richtig gemacht habe: Ich sehe, dass die Ableitung der rechten Seite der Funktion E(X)= k * p(.....) ähnelt, nur irritiert mich: [mm] p^{k-1}
[/mm]
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| Status: |
(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 19:21 Mo 06.05.2013 | | Autor: | matux |
$MATUXTEXT(ueberfaellige_frage)
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| Status: |
(Frage) beantwortet | | Datum: | 18:22 Di 07.05.2013 | | Autor: | JKasp |
| Aufgabe | | E(X)=p*n bei Bernoulliversuchen, Beweis. |
Bin davon ausgegangen, mir würde innerhalb von 24 Std. geschrieben, daher jetzt die Verlängerung:
Okay, habe jetzt beide Wege versucht, das sah bei mir so aus:
Möglichkeit 1:
E(X) = n * $ [mm] \summe_{k=0}^{n} [/mm] $ k * $ [mm] \bruch{(n-1)!}{k!(n-k)!} [/mm] $ * $ [mm] p^k [/mm] $ * $ [mm] (1-p)^{n-k+1-1} [/mm] $ // Wieso dieses: "+1-1" ?
Jetzt das p herausholen:
E(X) = n * p * $ [mm] \summe_{k=0}^{n} [/mm] $ k * $ [mm] \bruch{(n-1)!}{k!(n-k)!} [/mm] $ * $ [mm] p^{k-1} [/mm] $ * $ [mm] (1-p)^{n-k+1-1} [/mm] $
Jetzt das k direkt nach dem Summenzeichen kürzen:
E(X) = n * p * $ [mm] \summe_{k=0}^{n} \bruch{(n-1)!}{(k-1)!(n-k)!} [/mm] $ * $ [mm] p^{k-1} [/mm] $ * $ [mm] (1-p)^{n-k+1-1} [/mm] $
Jetzt den Bruch in die Binomialkoeffizientenform bringen:
E(X) = n * p * $ [mm] \summe_{k=0}^{n} \vektor{n-1 \\ k-1} [/mm] $ * $ [mm] p^{k-1} [/mm] $ * $ [mm] (1-p)^{n-k+1-1} [/mm] $
Kann man jetzt anstelle der Summe mit dem Binomischen Lehrsatz $ [mm] (p+q)^{n-1} [/mm] $ schreiben?
Sodass die Gleichung dann so aussieht?:
$ [mm] E(X)=n\cdot{}p\cdot{}(p+q)^{n-1} [/mm] $
Da sich p+q auflösen, würde das dann 1 ergeben:
E(X)=n*p*1 bzw E(X)=n*p
________________________________
Zur 2. Möglichkeit:
$ [mm] (p+q)^n [/mm] $ = $ [mm] \summe_{k=0}^{n} \vektor{n \\ k} [/mm] $ * $ [mm] p^{k} [/mm] $ * $ [mm] (1-p)^{n-k} [/mm] $
Linke Seite, p ableiten:
$ [mm] (p+q)^n [/mm] $ =abgeleitet= $ [mm] n(p+q)^{n-1} [/mm] $
Rechte Seite, p ableiten:
$ [mm] \summe_{k=0}^{n} \vektor{n \\ k} [/mm] $ * $ [mm] p^{k} [/mm] $ * $ [mm] (1-p)^{n-k} [/mm] $
=abgeleitet=
$ [mm] \summe_{k=0}^{n} [/mm] $ k * $ [mm] \vektor{n \\ k} [/mm] $ * $ [mm] p^{k-1} [/mm] $ * $ [mm] (1-p)^{n-k} [/mm] $
Soweit ich es richtig gemacht habe: Ich sehe, dass die Ableitung der rechten Seite der Funktion E(X)= k * p(.....) ähnelt, nur irritiert mich: $ [mm] p^{k-1} [/mm] $
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 18:46 Di 07.05.2013 | | Autor: | Teufel |
Hi!
Die 1. Möglichkeit ist gut so, damit ist alles gezeigt.
Die 2. Möglichkeit geht nicht so leicht durch. Du kannst dort nicht einfach nach p ableiten und q einfach als Konstante behandeln. [mm] (p+q)^n=1^n=1 [/mm] und wenn man das nach p ableitet kommt ja 0 raus und nicht [mm] n(p+q)^{n-1}=n. [/mm] Bleib am besten bei deinem ersten Weg!
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Geh da doch einmal weg von p und q=1-p als Wahrscheinlichkeit.
Allgemein gilt doch nach dem binomischen Lehrsatz:
[mm](x+y)^n=\sum_{k=0}^n \binom nk x^k y^{n-k}[/mm]
Ableiten ergibt:
[mm]\frac{\partial}{\partial x}(x+y)^n=n(x+y)^{n-1}[/mm]
und
[mm]\frac{\partial}{\partial x}\sum_{k=0}^n \binom nk x^k y^{n-k}=\sum_{k=0}^n k\binom n kx^{k-1} y^{n-k}[/mm]
und nach Multiplikation von beiden Seiten mit x
[mm]nx(x+y)^{n-1}=\sum_{k=0}^n k\binom n kx^k y^{n-k}[/mm]
Setze nun $x:=p$ und $y:=1-p$.
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