Beweis Dreiersystem < Lin. Algebra/Vektor < Oberstufe < Schule < Mathe < Vorhilfe
|
| Status: |
(Frage) beantwortet  | | Datum: | 17:07 Sa 22.01.2005 | | Autor: | DaMazen |
So nochmal eine Frage auch hier konnte ich leider außer einer Überprüfung an Bsp nichts erreichen.
(2020...20)3 (soll Index 3 sein und für das 3ersystem stehen) bezeichnet die im Dreiersytsem aus n Ziffernblöcken "20" dargestellte Zahl.
Beweisen Sie: (2020...20)3(Index) = [mm] 3/4(9^n [/mm] - 1)
Kann mir jemand helfen?
|
|
| |
|
| Status: |
(Antwort) fertig  | | Datum: | 18:13 Sa 22.01.2005 | | Autor: | Paulus |
Lieber DaMazen
Die Ziffernfolge [mm] $a_{n-1}a_{n-2}a_{n-3}...a_{1}a_{0}$ [/mm] zur Basis $b_$ stellt ja diesen Wert dar:
[mm] $\sum_{k=0}^{n-1}a_{k}b^k$
[/mm]
In deinem Beispiel ist $b=3$, die [mm] $a_k$ [/mm] mit geradem $k_$ haben den Wert Null, die anderen den Wert $2_$.
Somit erhalten wir:
[mm] $\sum_{k=0}^{n-1}2*3^{2k+1}$
[/mm]
Von nun an sind es ganz einfache, elementare Umformungen:
[mm] $\sum_{k=0}^{n-1}2*3^{2k+1}=2\sum_{k=0}^{n-1}3^{2k+1}=2\sum_{k=0}^{n-1}3*3^{2k}=6\sum_{k=0}^{n-1}3^{2k}=6\sum_{k=0}^{n-1}9^k$
[/mm]
Jetzt hast du die Summe der ersten n Glieder einer Geometrischen Reihe. Dafür gibt es doch eine Formel, oder? 
Somit weiter:
$... = [mm] 6\bruch{9^n-1}{9-1}=6\bruch{9^n-1}{8}=\bruch{3}{4}(9^n-1)$
[/mm]
Mit lieben Grüssen
Paul
|
|
|
| |
|
Hallo, DaMazen,
diese Ziffernfolge ist eine Geometrischen Reihe mit dem Faktor 9 äquivalent. Die Formel für die Summe einer solchen
kennst Du?
|
|
|
| |
|
| Status: |
(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 16:58 So 23.01.2005 | | Autor: | DaMazen |
Ja die kenne ich, ich war nur nicht einmal auf einen Ansatz gekommen. Vielen Dank habt mir sehr geholfen!
|
|
|
|
