Beweis Dreiecksungeichung < mehrere Veränderl. < reell < Analysis < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 20:54 Mo 05.04.2010 | | Autor: | mathesx |
| Aufgabe | Sei [mm] f:\IR\times\IR \to \IR, [/mm] f(x,y):=|x-y|+1.
Zeigen sie, dass die Dreiecksungleichung gilt. |
Hallo an alle,
Es ist f(x,y) [mm] \le [/mm] f(x,z) + f(z,y) zu zeigen.
Habe mir folgendes überlegt:
Seien [mm] x,y,z\in\IR. [/mm]
Dann ist |x-y|+1 = |(x-z)+(z-y)|+1 [mm] \le (|x-z|+\bruch{1}{2})+(|z-y|+\bruch{1}{2}).
[/mm]
Bis hierhin ist ja noch nix passiert...
Meine Frage ist, ob ich jetzt einfach mit
[mm] (|x-z|+\bruch{1}{2})+(|z-y|+\bruch{1}{2}) \le [/mm] (|x-z|+1)+(|z-y|+1)
abschätzen kann?
Viele Grüße
mathes
Ich habe diese Frage in keinem Forum auf anderen Internetseiten gestellt.
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 22:43 Mo 05.04.2010 | | Autor: | rainerS |
Hallo!
Erstmal herzlich ![[willkommenvh]](/images/smileys/willkommenvh.png "[willkommenvh]")
> Sei [mm]f:\IR\times\IR \to \IR,[/mm] $f(x,y):=|x-y|+1$.
> Zeigen sie, dass die Dreiecksungleichung gilt.
> Hallo an alle,
>
> Es ist $f(x,y) [mm] \le [/mm] f(x,z) + f(z,y)$ zu zeigen.
> Habe mir folgendes überlegt:
>
> Seien [mm]x,y,z\in\IR.[/mm]
> Dann ist [mm]|x-y|+1 = |(x-z)+(z-y)|+1 \le (|x-z|+\bruch{1}{2})+(|z-y|+\bruch{1}{2}).[/mm]
>
> Bis hierhin ist ja noch nix passiert...
>
> Meine Frage ist, ob ich jetzt einfach mit
> [mm](|x-z|+\bruch{1}{2})+(|z-y|+\bruch{1}{2}) \le (|x-z|+1)+(|z-y|+1) [/mm]
> abschätzen kann?
Aber natürlich, denn links steht
[mm] |x-z|+|z-y|+1 [/mm]
und rechts
[mm] |x-z|+|z-y|+2 [/mm]
(per Assoziativität der Addition).
Viele Grüße
Rainer
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(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 08:49 Di 06.04.2010 | | Autor: | mathesx |
Hallo Rainer,
danke für die Deine Hilfe.
Viele Grüße
mathes
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