Beweis Divergenz harm. Reihe < Folgen und Reihen < eindimensional < reell < Analysis < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 13:41 So 19.08.2012 | | Autor: | Axiom96 |
| Aufgabe | Satz: Die Reihe [mm] \summe_{\nu=1}^{\infty}\frac{1}{\nu} [/mm] ist divergent
Beweis: Man zeigt, dass die Folge der Teilsummen [mm] s_n=\summe_{\nu=1}^{n}\frac{1}{\nu} [/mm] nicht beschränkt ist.
Für natürliche Zahlen k betrachtet man zunächst den Ausdruck [mm] \sigma_k=\summe_{\nu={2^{k-1}}+1}^{2^k}\frac{1}{\nu} [/mm] und erhält die Abschätzung: [mm] $\sigma_k=\summe_{\nu={2^{k-1}}+1}^{2^k}\frac{1}{\nu}\ge{({2^k}-{2^{k-1})}*\frac{1}{2^k}}=\frac{1}{2}$. [/mm] Aus [mm] s_{2^n}=\summe_{\nu=1}^{2^n}\frac{1}{\nu}=1+\summe_{k=1}^{n}\sigma_k\ge1+\summe_{k=1}^{n}\frac{1}{2}=1+\frac{n}{2} [/mm] ergibt sich, dass [mm] \{s_n\} [/mm] nicht beschränkt ist. |
Hallo,
bei diesem Beweis aus meinem Buch kann ich die Abschätzung von [mm] \sigma_k [/mm] nicht ganz nachvollziehen:
Wie kommt man auf: [mm] \summe_{\nu={2^{k-1}}+1}^{2^k}\frac{1}{\nu}\ge{({2^k}-{2^{k-1})}*\frac{1}{2^k}} [/mm] ?
Der Rest ist mir nach einigem Nachdenken klar geworden, auch wenn ich nicht wüsste, wie ich, wenn ich diesen Beweis selbst hätte führen sollen, auf solche Vorüberlegungen mit [mm] \sigma_k [/mm] kommen sollte.
Eine Erläuterung zu meinem Verständnisproblem würde mir sehr weiterhfelfen!
Liebe Grüße
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Hallo,> Satz: Die Reihe [mm]\summe_{\nu=1}^{\infty}\frac{1}{\nu}[/mm] ist
> divergent
>
Ich würd einfach mal die Summe ausschreiben und bisschen klammern:
[mm] \summe_{\nu=1}^{\infty}\frac{1}{\nu}=1+\bruch{1}{2}+(\bruch{1}{3}+\bruch{1}{4})+(\bruch{1}{5}+\bruch{1}{6}+\bruch{1}{7}+\bruch{1}{8})+...>1+\bruch{1}{2}+(\bruch{1}{4}+\bruch{1}{4})+(\bruch{1}{8}+\bruch{1}{8}+\bruch{1}{8}+\bruch{1}{8})+...=1+\bruch{1}{2}+\bruch{1}{2}+\bruch{1}{2}+.... [/mm] so kommt letztlich diese Abschätzung zu stande.Ich hoffe damit ist es etwas versändlicher.
Viele Grüße
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 15:12 So 19.08.2012 | | Autor: | Axiom96 |
Hallo,
deine Beweismethode war mir bereits bekannt, allerdings erscheint mir die Schreibweise mit "..." immer etwas unscharf. Auch wenn die Idee unter Umständen formal genauer notiert werden kann, würde mich trotzdem interessieren, wie die von mir geschilderte Abschätzung vorgenommen wurde. Wäre das unter Umständen mit Induktion über k möglich? Das zumindest habe ich versucht, aber ich bin nicht weitergekommen.
Libee Grüße
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 15:48 So 19.08.2012 | | Autor: | Teufel |
Hi!
Du kannst das so einsehen, wie es schon geschrieben wurde. Du hast also $ [mm] \sigma_k=\summe_{\nu={2^{k-1}}+1}^{2^k}\frac{1}{\nu} [/mm] $. In dieser Summe ist nun [mm] \frac{1}{2^k} [/mm] der kleinste Term, weil [mm] \frac{1}{n} [/mm] streng monoton fällt.
Daher ist [mm] \summe_{\nu={2^{k-1}}+1}^{2^k}\frac{1}{\nu}\ge \summe_{\nu={2^{k-1}}+1}^{2^k}\frac{1}{2^k}. [/mm] Nun summierst du nur noch den konstanten Term [mm] \frac{1}{2^k} [/mm] auf, und das genau [mm] 2^k-(2^{k-1}+1)+1 [/mm] mal. (wenn die Summe von [mm] \nu=3 [/mm] bis [mm] \nu=6 [/mm] geht, hast du nicht nur 6-3, sondern 6-3+1 Summanden).
Alles klar?
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(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 16:02 So 19.08.2012 | | Autor: | Axiom96 |
Ja, jetzt habe ich es verstanden.
Vielen Dank!
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(Antwort) fertig | | Datum: | 08:18 Mo 20.08.2012 | | Autor: | fred97 |
Ein einfacherer Beweis:
$ [mm] s_n:=\summe_{\nu=1}^{n}\frac{1}{\nu} [/mm] $
Dann ist
[mm] $s_{2n}=s_n+\bruch{1}{n+1}+...+\bruch{1}{2n} \ge s_n+\bruch{1}{2n}+...+\bruch{1}{2n}=s_n+1/2$.
[/mm]
Wäre nun [mm] (s_n) [/mm] konv. mit Grenzwert s, so würde folgen:
s [mm] \ge [/mm] s+1/2,
also 0 [mm] \ge [/mm] 1/2.
Wid.
FRED
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(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 09:23 Mo 20.08.2012 | | Autor: | Richie1401 |
Ich bin begeistert.
Einfach, aber ergiebig.
Auch wenn ich die Frage nicht gestellt habe. Danke für die Ausführung, Fred.
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(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 09:40 Mo 20.08.2012 | | Autor: | fred97 |
> Ich bin begeistert.
> Einfach, aber ergiebig.
>
> Auch wenn ich die Frage nicht gestellt habe. Danke für die
> Ausführung, Fred.
Hallo Richie,
aus
$ [mm] s_{2n} \ge s_n+1/2 [/mm] $,
erhält man übrigends sofort die Ungl.
$ [mm] s_{2^n} \ge 1+\frac{n}{2} [/mm] $,
die in der Ausgangsfrage zu finden war.
FRED
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