Beweis Dimensionen < Lineare Algebra < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
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Ich habe diese Frage in keinem anderen Forum gestellt.
Hallo ihr Alle,
ich habe eine Beweis zu führen:
Sei K ein Körper und sei U ein Unterraum eines endlichdimensionalen K-Vektorraums V. Sei dim(U) < dim (V) -1.
Beweisen Sie, dass es einen Unterraum W von V gibt, so dass U ein Unterraum von W ist, und so, dass U [mm] \not= [/mm] W [mm] \not= [/mm] V.
Meine Idee war folgende:
U ist ein Unteraum von W (dabei ist U [mm] \not= [/mm] W), d.h. es muss einen weiteren Unteraum X geben, so dass dim (W) = dim(U) + dim(X). (ich nehme hier der einfachhalber an, dass X und W komplementär sind, also das dim(W) die direkte Summe aus dim (U) + dim(X) ist). Stell ich das nach dim(U) um, so ist dim(U) = dim(W)-dim(X). Einsetzen in die Gleichung oben ergibt dann dim(W) + dim(X) < dim(V) -1.
Diese Gleichung ist doch nur dann wahr, wenn dim(W) ein Unterraum von V ist (da ansonsten die Dimension größer sein müsste) und W [mm] \not= [/mm] V, da da ja noch die -1 steht.
Meint Ihr das die Idee richtig ist (die mathematische Formulierung ist nicht ganz exakt, ändere ich noch), aber mir geht es um die Beweisidee. Oder muss ich das doch über den Austauchstz machen und die Indizes dann auszählen?
Vielen Dank schon mal.
Steffen
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> Ich habe diese Frage in keinem anderen Forum gestellt.
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> Hallo ihr Alle,
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> ich habe eine Beweis zu führen:
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> Sei K ein Körper und sei U ein Unterraum eines
> endlichdimensionalen K-Vektorraums V. Sei dim(U) < dim (V)
> -1.
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> Beweisen Sie, dass es einen Unterraum W von V gibt, so dass
> U ein Unterraum von W ist, und so, dass U [mm]\not=[/mm] W [mm]\not=[/mm] V.
>
> Meine Idee war folgende:
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Hallo Steffen,
hier läuft gleich am Anfang etwas schief: Du sollst die Existenz eines Unterraumes W mit diesen Eigenschaften ja erst zeigen.
Und Du tust so, als hättest Du ihn schon und schreibst
> U ist ein Unteraum von W (dabei ist U [mm]\not=[/mm] W)
und ziehst daraus irgendwelche Schlüsse.
Aber ob es dieses W überhaupt gibt, weiß man zum Schluß immer noch nicht.
Irgendsoetwas scheinst Du ja schon geahnt zu haben...
Mit Austausch- oder Ergänzungssatz wärest Du auf der richtigen Spur.
Gruß v. Angela
d.h. es
> muss einen weiteren Unteraum X geben, so dass dim (W) =
> dim(U) + dim(X). (ich nehme hier der einfachhalber an, dass
> X und W komplementär sind, also das dim(W) die direkte
> Summe aus dim (U) + dim(X) ist). Stell ich das nach dim(U)
> um, so ist dim(U) = dim(W)-dim(X). Einsetzen in die
> Gleichung oben ergibt dann dim(W) + dim(X) < dim(V) -1.
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> Diese Gleichung ist doch nur dann wahr, wenn dim(W) ein
> Unterraum von V ist (da ansonsten die Dimension größer sein
> müsste) und W [mm]\not=[/mm] V, da da ja noch die -1 steht.
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> Meint Ihr das die Idee richtig ist (die mathematische
> Formulierung ist nicht ganz exakt, ändere ich noch), aber
> mir geht es um die Beweisidee. Oder muss ich das doch über
> den Austauchstz machen und die Indizes dann auszählen?
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> Vielen Dank schon mal.
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> Steffen
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Hallo Angela,
hhmm irgendwie werden die Beweise nicht einfacher :). Habe mir eine alternativen Beweis überlegt.
Sei [mm] u_{1},...,u_{k} [/mm] eine Basis von U. Da U [mm] \not=W [/mm] gibt es [mm] x_{k+1},..,x_{m}, [/mm] so dass [mm] u_{1},..,u_{k},x_{k+1},..x_{m} [/mm] eine Basis von W ist. Des weiteren gilt das W [mm] \not=V, [/mm] d.h. es gibt [mm] y_{m+1},...,y_{n}, [/mm] so dass [mm] u_{1},..,u_{k},x_{k+1},..,x_{m},y_{m+1},..,y_{n} [/mm] eine Basis von V ist. Dann muss ich jetzt nur noch zeigen, dass dies eine Basis von V ist. Das ist doch bestimmt auch falsch. Uff,ich dreh noch durch.
Steffen
P.S. Reciht das oder muss ich zwischendurch noch beweisen, dass [mm] u_{1},..,u_{k},x_{k+1},..,x_{m} [/mm] eine Basis von W ist?
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 01:09 Mi 07.12.2005 | | Autor: | felixf |
> Sei [mm]u_{1},...,u_{k}[/mm] eine Basis von U. Da U [mm]\not=W[/mm] gibt es
Hier nimmst du schon wieder an das W bereits existiert/gegeben ist! Dabei sollst du erstmal ein W konstruieren!
Was du machen kannst: du kannst [mm] $u_{k+1}, \dots, u_n \in [/mm] V$ finden so, dass [mm] $u_1, \dots, u_k, u_{k+1}, \dots, u_n$ [/mm] eine Basis von $V$ ist. Und wie steht jetzt n in Relation zu k? Und noch ein Hinweis: schau dir doch mal den Vektorraum an, der von [mm] $u_1, \dots, u_k, u_{k+1}$ [/mm] erzeugt wird. Faellt dir was auf?
HTH Felix
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