Beweis Differenzierbarkeit < Differentiation < Funktionen < eindimensional < reell < Analysis < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 11:15 Fr 06.11.2009 | | Autor: | mongoo |
Hallo zusammen
Ich habe ein Problem mit folgender Aufgabe:
Zeige:
Eine Funktion f(x) ist genau dann in einem Punkt [mm] x_{0} [/mm] differenzierbar, wenn f(x) - [mm] f(x_{0}) [/mm] = [mm] \beta(x) [/mm] (x - [mm] x_{0}), [/mm] wobei [mm] \beta(x) [/mm] eine in [mm] x_{0} [/mm] stetige Funktion ist (und in dem Fall ist [mm] \beta(x_{0})=f'(x_{0})).
[/mm]
Ich stehe hier irgendwie an, weiss gar nicht, wie ich beginnen soll. Was soll ich tun?
Gruss
Ich habe diese Frage in keinem Forum auf anderen Internetseiten gestellt.
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 11:27 Fr 06.11.2009 | | Autor: | fred97 |
1. Sei f in [mm] x_0 [/mm] differenzierbar. Dann legt doch die Aufgabenstellung schon nahe, wie man [mm] \beta [/mm] zu def. hat:
[mm] \beta(x) [/mm] := [mm] \bruch{f(x)-f(x_0)}{x-x_0}, [/mm] falls x [mm] \not=x_0
[/mm]
und [mm] \beta(x_0):= f'(x_0). [/mm] Zeige nun: dieses [mm] \beta [/mm] ist in [mm] x_0 [/mm] stetig (das ist fast trivial !)
2. Umkehrung. Gegeben: ein in [mm] x_0 [/mm] stetiges [mm] \beta [/mm] mit
$f(x) - [mm] f(x_{0}) [/mm] = [mm] \beta(x) [/mm] (x [mm] -x_0)$
[/mm]
Teile durch [mm] x-x_0 [/mm] und nutze die Stetigkeit von [mm] \beta [/mm] in [mm] x_0 [/mm] aus
FRED
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