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(Frage) reagiert/warte auf Reaktion  | | Datum: | 18:59 Do 03.07.2008 | | Autor: | Rumba |
| Aufgabe | Sei (x,||.||) ein Banachraum L(X,X) die Menge der stetigen,lineare Funktionen von X nach X, A [mm] \in [/mm] L(X,X) und [mm] f:\IK \to [/mm] l(X,X)eine diffbare Funktion mit f(0)= [mm] Id_{x} [/mm]
Zeige, dass aus [mm] \bruch{d}{dz} [/mm] f(z) = A f(z) folgt, dass
f = A exp(zA):= A [mm] \summe_{n=0}^{\infty}\bruch{(zA)^{n}}{n!} [/mm] |
Ich habe mir gedacht, dass dieser Beweis in anderer Richtung ja klar ist. Aber helfen tut mir das doch gar nicht, oder?
Ich muss ja bei [mm] \bruch{d}{dz} [/mm] f(z) = A f(z) starten und dann auf A exp(zA)kommen.
Wie kann ich das machen?
Erst hatte ich gedacht Kontraposition würde helfen, aber das wäre ja
f [mm] \not= [/mm] A exp(zA):= A [mm] \summe_{n=0}^{\infty}\bruch{(zA)^{n}}{n!} [/mm] folgt, dass [mm] \bruch{d}{dz} f(z)\not= [/mm] A f(z)
Aber das sind ja dann unendlich viele Funktionen für die ich die Ungleichheit des rechten Teils zeigen müsste.
Vielen Danke für eure Tipps
LG
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1. Zunächst rechnest du nach, dass das gegebene f tatsächlich das Anfangswertproblem erfüllt.
2. Dann schaust du dir die rechte Seite der DGL an und zeigst, dass diese Lipschitz-stetig ist. Mit dem Satz von Picard Lindelö folgt dann, dass die Lösung der DGl eindeutig ist.
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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 19:22 Do 03.07.2008 | | Autor: | Rumba |
Danke für den Tipp, aber wie kann ich das ohne den Satz von Picard Lindelöf machen, weil wir den noch nicht eingeführt haben und deshalb nicht verwenden dürfen?
LG
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Ok. Dann eben ohne Picard-Lindelöf: Sei $g$ eine weitere Lösung des Anfangsproblems. Dann setze $w=f-g$. Es gilt dann
[mm] $\frac{d}{dz}w=Aw, \quad [/mm] w(0)=0$.
Du zeigst nun, dass dieses Anfangsproblem nur die Null-Lösung besitzt. Denn dann folgt $w=0=f-g$, also $f=g$.
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(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 20:11 Do 03.07.2008 | | Autor: | Rumba |
Dankeschön, hast mir sehr geholfen
LG
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Kein Problem!
Hast du es denn zeigen können?
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