Beweis Determinante+Primzahl < Determinanten < Lineare Algebra < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 18:35 Do 26.01.2006 | | Autor: | Sherin |
| Aufgabe | | Sei p eine Primzahl und sei [mm] r_{p}: \IZ \to \IF_{p} [/mm] die Abbildung, die jeder Zahl ihren Rest nach der Division durch p zuordnet. Sei A = [mm] a_{ij} [/mm] eine Matrix in [mm] \IR^{n,n} [/mm] mit Einträgen in [mm] \IZ. [/mm] Dann ist A' := [mm] (r_{p}(a_{ij})) [/mm] eine Matrix in [mm] \IF_{p}^{n,n}. [/mm] Zeigen Sie, dass det (A) [mm] \in \IZ [/mm] und dass det (A') = [mm] r_{p}(det(A)). [/mm] |
Hallo,
ich kann mit dieser Aufgabe leider überhaupt gar nichts anfangen! Kann mir jemand kurz erklären, wie ich an diese Aufgabe drangehen kann.. Ihr wärt meine Rettung.. Danke!
Lg,
Sherin
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 18:52 Do 26.01.2006 | | Autor: | Stefan |
Hallo Sherin!
Die Frage kam in letzter Zeit häufiger, bitte schau dich mal im Forum um und suche danach.
Klar ist: Die Determinante, eingeschränkt auf die Matrizen mit ganzzahligen Einträgen, ist eine multilineare Abbildung von [mm] $\IZ^{n \times n}$ [/mm] nach (zunächst) [mm] $\IR$, [/mm] also ist [mm] $\det(A)$ [/mm] eine Summe von Produkten von ganzen Zahlen und damit selbst ganzzahlig.
Die angegebenene Gleichheit folgt aus der Definition der Addition und Multiplikation in [mm] $\IF_p$ [/mm] über die Repräsentanten (aus [mm] $\IZ$):
[/mm]
[mm] $\overline{a} [/mm] + [mm] \overline{b} [/mm] = [mm] \overline{a+b}$,
[/mm]
[mm] $\overline{a} \cdot \overline{b} [/mm] = [mm] \overline{a \cdot b}$.
[/mm]
Liebe Grüße
Stefan
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