Beweis:C^1 ist lipschitzstetig < Funktionen < eindimensional < reell < Analysis < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 15:24 So 11.03.2012 | | Autor: | rhue |
| Aufgabe | | Zeigen Sie: Jedes f [mm] \in C^1 [/mm] ([a,b], [mm] \IR [/mm] ) ist lipschitzstetig. |
Ich stecke grade bei der Frage fest, welche Funktionen alle in [mm] C^1 [/mm] sind. Als Beispiel: Ist f(x) := [mm] \frac{1}{x} [/mm] in [mm] C^1 [/mm] enthalten? Dann ist die Funktion ja nicht in [a,b] lipschitzstetig.
Ansonsten kann man ja sagen, man nehme den maximalen Abstand zwischen f(x) und f(y), x,y [mm] \in [/mm] [a,b] und kann diesen dann als Lipschitzfaktor nehmen?
Ich habe diese Frage in keinem Forum auf anderen Internetseiten gestellt.
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 15:50 So 11.03.2012 | | Autor: | Marcel |
Hallo,
> Zeigen Sie: Jedes f [mm]\in C^1[/mm] ([a,b], [mm]\IR[/mm] ) ist
> lipschitzstetig.
> Ich stecke grade bei der Frage fest, welche Funktionen
> alle in [mm]C^1[/mm] sind. Als Beispiel: Ist f(x) := [mm]\frac{1}{x}[/mm] in
> [mm]C^1[/mm] enthalten?
ja! Vorausgesetzt, dass $0 [mm] \notin [a,b]\,$ [/mm] - (sinnvollerweise nehmen wir [mm] $[a,b]\,$ [/mm] weiter als nichteinpunktig an!) - denn Dein [mm] $f\,$ [/mm] kannst Du noch nichtmal stetig in [mm] $0\,$ [/mm] ergänzen, wenn $0 [mm] \in [a,b]\,.$
[/mm]
> Dann ist die Funktion ja nicht in [a,b]
> lipschitzstetig.
Doch, sofern etwa $0 < a [mm] \le [/mm] b < [mm] \infty\,.$ [/mm] Für $a < 0 < [mm] b\,$ [/mm] hättest Du ein Problem, weil man die Funktion noch nichtmal stetig in [mm] $0\,$ [/mm] ergänzen kann! (Warum?)
Ich beweise es Dir mal gerade, exemplarisch für [mm] $a=2\,$ [/mm] und [mm] $b=3\,,$ [/mm] dass $x [mm] \mapsto [/mm] 1/x$ ($x [mm] \in [/mm] [2,3]$) Lipschitzsch ist:
Sei $f(x):=1/x$ auf [mm] $[2,3]\,.$ [/mm] Dann ist [mm] $f'(x)=-1/x^2$ [/mm] und damit $|f'(x)| [mm] \in [1/9,\;1/4]\,,$ [/mm] insbesondere also $|f'(x)| [mm] \le [/mm] 1/4$ für alle $x [mm] \in [2,3]\,.$
[/mm]
Nach dem MWS existieren zu allen $x,y$ mit o.E. $2=a [mm] \le [/mm] x < y [mm] \le [/mm] b=3$ dann [mm] $\xi=\xi_{x,y} \in [/mm] (x,y)$ mit
[mm] $$\frac{f(y)-f(x)}{y-x}=f'(\xi)\,.$$
[/mm]
Daraus folgt
[mm] $$\left|\frac{f(y)-f(x)}{y-x}\right|=|f'(\xi)| \le 1/4\,,$$
[/mm]
weil $f'([x,y]) [mm] \subseteq [/mm] f'([2,3])$ und $f'([2,3])$ durch [mm] $1/4\,$ [/mm] beschränkt ist - s.o..
Damit sind wir fertig! (Warum?)
> Ansonsten kann man ja sagen, man nehme den maximalen
> Abstand zwischen f(x) und f(y), x,y [mm]\in[/mm] [a,b] und kann
> diesen dann als Lipschitzfaktor nehmen?
Sagen kann man viel - ob es Sinn macht und das liefert, was man haben will, ist dann wieder eine andere Sache. Was bedeutet denn Lipschitzstetig? Kannst Du das beweisen, was Du oben behauptest? Ich denke nicht... Schreib's mal auf, Du wirst an eine Stelle kommen, wo Du "Probleme" bekommst, um die Lipschitzstetigkeit folgern zu können, alleine mit DEINER Wahl von [mm] $L\,.$
[/mm]
Nebenbei: [mm] $f(x):=x^2*\cos(1/x)$ [/mm] für $x [mm] \not=0$ [/mm] und [mm] $f(0):=0\,$ [/mm] ist diff'bar, aber nicht stetig diff'bar. Hier wäre $f [mm] \notin C^1[a,b]$ [/mm] (sofern etwa $a < 0 < b$).
> Ich habe diese Frage in keinem Forum auf anderen
> Internetseiten gestellt.
Zu der Aufgabe hier:
Benutze den MWS (Mittelwertsatz, genauer: MWS der Differentialrechnung) und beachte: Weil $f [mm] \in C^1[a,b]\,,$ [/mm] ist dann $f' [mm] \in C[a,b]\,.$ [/mm] Stetige Funktionen auf kompakten Mengen sind insbesondere beschränkt, also auch [mm] $f'\,.$ [/mm] Mehr brauch' man für den Beweis nicht! (In dem exemplarischen Beispiel hätte ich daher auch, anstatt speziell eine Schranke für [mm] $f'\,$ [/mm] konkret anzugeben, diese "Theorieerkenntnisse" von hier verwenden können.)
Gruß,
Marcel
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