Beweis: Banachraum < Funktionen < eindimensional < reell < Analysis < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
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(Frage) reagiert/warte auf Reaktion  | | Datum: | 13:58 Fr 11.05.2007 | | Autor: | max3000 |
| Aufgabe | | Beweisen Sie: [mm] (C[a,b],\parallel.\parallel) [/mm] ist vollständig, also ein Banachraum. |
Guten Tag.
Ich komme leider mit solchen Beweisen überhaupt nicht klar und muss desswegen mal wieder um eure Mithilfe bitten.
Ich bin jetzt schon soweit:
Definitionen:
[mm] C[a,b]=\{f:[a,b] \to X ; f stetig\}
[/mm]
[mm] \parallel.\parallel [/mm] heißt Norm
Lösung:
[mm] (C[a,b],\parallel .\parallel) [/mm] ist vollständig
[mm] \gdw [/mm] Jede Cauchyfolge in C[a,b] ist konvergent.
[mm] \gdw \forall\varepsilon>0 \exists N\in\IN \forall [/mm] m,n>N: [mm] \parallel f(x_{m})-f(x_{n})\parallel<\varepsilon
[/mm]
Nach definition ist aber
[mm] \parallel f(x_{m})-f(x_{n})\parallel=sup\{|f(x_{m})-f(x_{n})|, a\le x_{m},x_{n}\le b\}
[/mm]
Jetzt bin ich aber an dem Punkt angelangt, wo ich mir denke, dass das doch total unlogisch ist. das Supremum dieser Mengen kann doch nie < [mm] \varepsilon [/mm] sein, nicht für jedes beliebige.
Kann mir jemand vielleicht einen richtigen Ansatz geben?
Ich komm alleine nicht weiter.
Vielen Dank schonmal.
Gruß
Max
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Überleg dir mal, wo (also in welchem Raum) du Konvergenz brauchst. Ich würde ja sagen in C. Also brauchst du keine punktweise Konvergenz, sondern?
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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 14:56 Fr 11.05.2007 | | Autor: | max3000 |
gleichmäßige?
Ist die Definition von der Cauchyfolge richtig?
Oder was muss man da als Folgenglied betrachten?
Vielleicht [mm] f_{n}(x) [/mm] ?
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 17:23 Fr 11.05.2007 | | Autor: | Hund |
Hallo,
du hast den Raum (C[a,b], Supremumsnorm). Wenn nun gesagt ist, dass du die Vollständigkeit eines Raumes zeigen sollst, so musst du zeigen, dass jede Cauchy-Folge konvergiert. Jetzt musst du überlegen, wie die Folgen in deinem Raum aussehen und dann wie speziell die Cauchy-Folgen aussehen. Deine Folgen sind Folgen in C[a,b], also stetige Funktionenfolgen. Deine Norm ist die Supremumsnorm. Jetzt gehst du von einer beliebigen stetigen Funktionenfolge aus, die Eine Cauchy-Folge bzgl. der sup-Norm ist und zeigst, dass sie konvergiert. Übrigens: Der Beweis ist etwas schwieriger als die "normalen" Übungsaufgaben. Kleiner Tipp:
1. Nimm einen festen Punkt und setzte ihn in die Cauchy-Bedingung ein.
2. Führe so auf gewöhnliche Folgen zurück und benutzte Vollständigkeit von IR. (In der Cauchy-Bedingung tauchen n,m auf. Du kannst im Beweis n und m einzeln gegen unendlich laufen lassen.)
Ich hoffe, es hat dir geholfen.
Gruß
Hund
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 13:09 Sa 12.05.2007 | | Autor: | max3000 |
Sorry aber so richtig versteh ich das immer noch nicht.
Hat das ganze etwas mit gleichmäßiger Konvergenz von Funktionen zu tun? Kann man einfach sagen, dass stetige Funktionen [mm] f_{n} [/mm] immer eine Grenzfunktion f haben können?
Oder wie meinst du das mit auf Folgen zurückführen?
Bitte helft mir noch ein bisschen.
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(Antwort) fertig | | Datum: | 16:11 Sa 12.05.2007 | | Autor: | Hund |
Hallo,
also sei [mm] f_{n} [/mm] eine stetige Cauchy-Folge. Wählen wir einen festen Punkt x, dann gilt:
[mm] betrag(f_{n}(x)-f_{m}(x))\le\parallelf_{n}-f_{m}\parallel<\epsilon [/mm] zu belibiges [mm] \epsilon. [/mm] Also ist die ZAHLENfolge [mm] f_{n}(x) [/mm] (da x fest) eine Cauchy-Folge in IR (vollständig), daher also konvergent. Wir können also eine Funktion f(x)=lim [mm] f_{n}(x) [/mm] definieren.
Zum Verständnis: Bisher ist die Behauptung noch nicht bewiesen, wir haben lediglich eine Funktion definiert, von der wir nun zeigen müssen, dass sie die Grenzfunktion bzgl. der sup-Norm ist.
(Wir haben übrigens schon gezeigt, dass f der punktweise Grenzwert ist.)
Jetzt zeigen wir das f der Grenzwert bzgl. der sup-Norm ist ("glm. Konvergenz"):
Da [mm] f_{n} [/mm] eine Cauchy-Folge ist, gilt wegen der oberen Abschätzung:
Für alle [mm] \epsilon [/mm] gibts ein [mm] n_{0}, [/mm] so dass für [mm] n,m\gen_{0} [/mm] gilt: [mm] betrag(f_{n}(x)-f_{m}(x))<\epsilon
[/mm]
Wir halten x und m fest und lassen m gegen unendlich laufen, dann steht da: [mm] betrag(f_{n}(x)-f(x))\le\epsilon
[/mm]
Die Funktion [mm] f(x)-f_{n}(x) [/mm] ist für großes n also beschränkt, also ist auch:
[mm] f(x)=f(x)-f_{n}(x)+f_{n}(x) [/mm] beschränkt, da Summe beschränkter Funktionen.
Da für alle x gilt, dass:
[mm] betrag(f_{n}(x)-f(x))<\epsilon,
[/mm]
kann da f beschränkt ist, dass suo gebildet werden, dann steht da:
[mm] \parallelf_{n}-f\parallel<\epsilon
[/mm]
Wir haben jetzt gezeigt, dass jede Cauchy-Folge bzgl. der sup-Norm, gegen ein beschränktes Funktion konvergiert. Für müssen noch zeigen, dass f stetig ist, dann ist die Vollständigkeit deines Raumes gezeigt.
Die folgt daraus, dass die sup-Norm glm. Konvergenz beschreibt und glm. Konvergente Funktionenfolgen, die stetig sind, gegen stetige Funktionen konvergieren. Oder du beweist das einfach nochmal.
Ich hoffe, es hat dir geholfen.
Gruß
Hund
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(Korrektur) oberflächlich richtig  | | Datum: | 17:02 Sa 12.05.2007 | | Autor: | max3000 |
Ich Danke dir vielmals.
Ich glaub damit werd ichs hinkriegen.
Grüße
Max
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