Beweis: Abbildung ist linear < Abbildungen < Lineare Algebra < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 10:53 Mi 23.10.2013 | | Autor: | iehtz |
| Aufgabe | Sei $(a, b) [mm] \in \IR^2$ [/mm] eine Basis, mit der Abbildung
$f: [mm] \IR^2 [/mm] -> [mm] \IR^2$, [/mm] für die gilt:
$f(xa + yb)=xa [mm] \forall [/mm] x, y [mm] \in \IR$
[/mm]
Zeige, f ist linear. |
Hallo Matheraum.
Gegeben ist die oben gestellte Aufgabe.
Ich weiß, dass ich, um die Linearität einer Abbildung zu zeigen, "einfach" in die Definition einsetzen, die besagt:
Additivität: $(i) f(x+y)=f(x)+f(y) [mm] \forall [/mm] x,y [mm] \in \IR$
[/mm]
Homogenität: $(ii) f(ax) = af(x) [mm] \forall [/mm] a [mm] \in \IR$
[/mm]
Beziehungsweise in einer Gleichung:
[mm] $f(ax+y)=af(x)+f(y)\forall x,y,a\in \IR$
[/mm]
Nun ist mein Problem, dass ich nicht genau weiß, wie ich die Abbildungsvorschrift auf die Definition anwende, also was genau ich in die linke Gleichung einsetzen muss.
Könnt ihr mir das bitte an oben genannter Aufgabe oder einem anderen Beispiel zeigen (eventuell mit knapper Erklärung), damit ich weitere Schritte zur Umformung erst einmal selber vornehmen kann? Danke.
Grüße, iehtz
Ich habe diese Frage in keinem Forum auf anderen Internetseiten gestellt.
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 11:10 Mi 23.10.2013 | | Autor: | fred97 |
> Sei [mm](a, b) \in \IR^2[/mm] eine Basis,
deine Notation ist schlecht ! Wenn Du schreibst [mm](a, b) \in \IR^2[/mm], so bedeutet das: a,b [mm] \in \IR.
[/mm]
Gemeint ist aber: a,b [mm] \in \IR^2 [/mm] und a,b linear unabhängig.
> mit der Abbildung
> [mm]f: \IR^2 -> \IR^2[/mm], für die gilt:
> [mm]f(xa + yb)=xa \forall x, y \in \IR[/mm]
> Zeige, f ist linear.
> Hallo Matheraum.
>
> Gegeben ist die oben gestellte Aufgabe.
> Ich weiß, dass ich, um die Linearität einer Abbildung zu
> zeigen, "einfach" in die Definition einsetzen, die besagt:
>
> Additivität: [mm](i) f(x+y)=f(x)+f(y) \forall x,y \in \IR[/mm]
>
> Homogenität: [mm](ii) f(ax) = af(x) \forall a \in \IR[/mm]
Auch hier wieder : chaotische Notation !
Richtig wäre:
Additivität: [mm](i) f(u+v)=f(u)+f(v) \forall u,v \in \IR^2[/mm]
Homogenität: [mm](ii) f(\alpha*u) = \alpha*f(u) \forall \alpha \in \IR, u \in \IR^2[/mm]
>
> Beziehungsweise in einer Gleichung:
>
> [mm]f(ax+y)=af(x)+f(y)\forall x,y,a\in \IR[/mm]
>
> Nun ist mein Problem, dass ich nicht genau weiß, wie ich
> die Abbildungsvorschrift auf die Definition anwende, also
> was genau ich in die linke Gleichung einsetzen muss.
>
> Könnt ihr mir das bitte an oben genannter Aufgabe oder
> einem anderen Beispiel zeigen (eventuell mit knapper
> Erklärung), damit ich weitere Schritte zur Umformung erst
> einmal selber vornehmen kann? Danke.
ich mach Dir mal die Homogenität vor: sei also [mm] \alpha \in \IR [/mm] und u [mm] \in \IR^2.
[/mm]
Es gibt eindeutig bestimmte [mm] \lambda, \mu \in \IR [/mm] mit:
[mm] u=\lambda*a+ \mu*b.
[/mm]
Jetzt berechne Du:
[mm] \alpha*u, [/mm] f(u) und f( [mm] \alpha*u)
[/mm]
FRED
>
> Grüße, iehtz
>
> Ich habe diese Frage in keinem Forum auf anderen
> Internetseiten gestellt.
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(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 10:43 Mo 28.10.2013 | | Autor: | iehtz |
Hallo Fred,
danke für deinen Hinweis bezüglich meiner Notation.
Ich konnte, mit Hilfe meines Tutors und deiner Hilfestellung, die Aufgabe erfolgreich lösen.
Grüße, iehtz.
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