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| Aufgabe | | Beweisen Sie: Eine stetige Funktion f: [mm] \IR->\IR [/mm] mit f(x) [mm] \ge [/mm] 0 für alle [mm] x\in\IR [/mm] und [mm] \limes_{x\rightarrow-\infty}f(x)=\limes_{x\rightarrow\infty}f(x)=0 [/mm] besitzt ein Maximum. |
Hallo,
ich soll mal wieder in Mathe einen Beweis erbringen und wie immer bei Beweisen fühle ich mich auch dieses mal wieder leicht überfordert, da mir der Ansatz fehlt. Was könnte ich denn für f(x) einsetzten, damit ich mal rumprobierne kann? Für Tipps wäre ich sehr dankbar, finde nämlich in meinen Büchern nichts was mich groß weiterbringen würde.
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 00:22 Mi 11.01.2006 | | Autor: | leduart |
Hallo
Mit rumprobieren geht das nicht. Aber Beispiele wären [mm] 1/(x^{2}+a), [/mm] a>0; [mm] e^{-ax^2} [/mm] 1/Polynom ohne reelle Nullstellen usw.
es gibt 2 Möglichkeiten a) f(x)=0 auf ganz [mm] \IR [/mm] dann ist 0 auch das max.
2. es gibt einen Pkt x mit [mm] f(x)\ne0, [/mm] damit ist das max>0. In einer abg. Umgebg nimmt eine stetige Fkt ihr max an . da du [mm] \infty [/mm] ausgeschlossen hast ist [mm] \IR-\infty [/mm] abgeschlossen.
Jetzt noch was besser aufschreiben
Gruss leduart
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Hallo,
ich bekomme die Aufgabe trotz der Hilfe nicht hin. Ich glaube zwar, dass ichs mittlerweile verstanden habe,ich weiß nur nocht wie man das am besten aufschreiben kann. Wenn [mm] \limes_{x\rightarrow-\infty}f(x)=\limes_{x\rightarrow\infty}f(x)=0 [/mm] und ich für f(x)=0 einsetzte ist klar, dass dann auch 0 auskommt. Aber wenn ich jetzt Null ableite hab ich damit doch nicht beweisen, dass 0 ein Maximum sein muss. Und was kann ich denn für das restliche f(x) größer 0 in die Gleichung einsetzten???
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| Status: |
(Antwort) fertig | | Datum: | 14:32 Mo 16.01.2006 | | Autor: | Julius |
Hallo!
Gibt es ein $x [mm] \in \IR$ [/mm] mit $f(x)>0$, so wähle $r >0$ so, dass
(*) [mm] $f|_{\IR \setminus [-r,r]} [/mm] < f(x)$.
Dies geht nach Voraussetzung.
Auf dem Kompaktum $[-r,r]$ nimmt $f$ ein Maximum an, und dies ist wegen (*) das globale Maximum von $f$.
Liebe Grüße
Julius
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