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Hi,
Überprüfen Sie, ob für alle reelen Zahlen t > 0 die folgende Abschätzung erfüllt ist (Beweis oder Gegenbeispiel):
[mm] $arctan(e^t) [/mm] - arctan(1) < t$
Also ich habe keine Idee wie das zu lösen ist. Mir würden vielleicht ein paar Stichworte oder Links helfen wo ich nachsehen muss.
Ich habe die Funktion mal geplotet und sehe dort, dass [mm] $arctan(e^t)$ [/mm] immer kleiner als ca. 0.78 bleibt. arctan(1) ist ja [mm] $\bruch{\pi}{4}$, [/mm] also etwa 0.7853. Das ist ja schon mal ganz interessant, aber ich sehe nicht den Ansatz daraus. Wie geht es also?
Gruß
Andreas
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 16:23 Di 14.06.2005 | | Autor: | HomerSi |
Versuch doch mal das ganze als Ungleichung zu sehn. Oder wie wäre es mit nach t auflösen. Du kannst es ja mal nach meiner Idee versuchen.
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> Überprüfen Sie, ob für alle reelen Zahlen t > 0 die
> folgende Abschätzung erfüllt ist (Beweis oder
> Gegenbeispiel):
>
> [mm]arctan(e^t) - arctan(1) < t[/mm]
Hallo andreas99,
ich vermute sehr, daß die Behauptung stimmt.
Ich würde es so versuchen:
<==> zu zeigen: [mm] \bruch{arctan(e^t)-arctan(e^{0})}{t-0}<1
[/mm]
Der Bruch vorne ist die Steigung der Sekante durch [mm] (0,arctan({e^0}) [/mm] und [mm] (t,arctan({e^t})).
[/mm]
Jetzt würde ich nachdenken in Richtung "Ist [mm] f(t)=arctan(e^t) [/mm] konvex?". Also das Verhalten der Steigung von [mm] f(t)=arctan(e^t) [/mm] betrachten.
Vielleicht bringt's Dich ja weiter.
Angela
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(Frage) für Interessierte  | | Datum: | 22:36 Do 16.06.2005 | | Autor: | andreas99 |
Hi,
ich hab mich noch etwas daran versucht. Hier sind die Resultate:
[mm] $f(t)=arctan(e^t)-arctan(1)$
[/mm]
[mm] $f'(t)=\bruch{e^t}{1+e^{2t}}$ [/mm] (f'(t) < 1 für t>0 )
$g(t)=t$
$g'(t)=1$
Die Steigung, also f'(t) muss nun kleiner als g'(t) sein.
$f'(t)<g'(t)$
Das ist erfüllt:
[mm] $\bruch{e^t}{1+e^{2t}}<1$
[/mm]
Nun muss zusätzlich noch eine konkave Krümmung der Kurve vorliegen. (Du hast zwar konvex geschrieben, aber ich vermute doch sie muss konkav sein.)
[mm] $f''(t)=-\bruch{e^{3t}-e^t}{e^{4t}+2e^{2t}+1}<0 [/mm] =>$ konkave Krümmung
=> Damit ist [mm] $arctan(e^t)-arctan(1)
... glaub ich wenigstens 
Kann man das so machen? Irgendwelche Kommentare?
Gruß
Andreas
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(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 21:01 Sa 18.06.2005 | | Autor: | Stefan |
Hallo Andreas!
Es tut mir leid, dass dir keiner deine Frage in dem von dir vorgesehenen Fälligkeitszeitraum beantworten konnte. Vielleicht hast du ja beim nächsten Mal mehr Glück! ![[kleeblatt]](/images/smileys/kleeblatt.gif "[kleeblatt]")
Viele Grüße
Stefan
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