Beweis- Lineare Unabhängigkeit < Lin. Algebra/Vektor < Oberstufe < Schule < Mathe < Vorhilfe
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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 15:05 So 03.04.2005 | | Autor: | Ticart |
Gegeben: Die Vektoren [mm] \vec{a}, \vec{b}, \vec{c} [/mm] sind linear unabhängig (l.u.)
Zeige die lineare Unabhängigkeit der Vektoren
[mm] \vec{d}= \vec{a}
[/mm]
[mm] \vec{e} [/mm] = [mm] 3\vec{a} [/mm] + [mm] 2\vec{b} [/mm] - [mm] 7\vec{c}
[/mm]
[mm] \vec{f} [/mm] = [mm] 3\vec{b} [/mm] - [mm] \vec{c}
[/mm]
Dürfte sich laut der Definition der linearen Unabhängigkeit [mm] \vec{a} [/mm] überhaupt durch eine Addition von [mm] \vec{b} [/mm] und [mm] \vec{c} [/mm] ersetzen lassen?
Ich habe selbst versucht, die Aufgabe über den Ansatz zu lösen, dass die Addition [mm] t*\vec{d}, s*\vec{e}, r*\vec{f}= \vec{0} [/mm] nur für t,s,r=0 stimmt.
Jedoch komme ich zu keinem Beweis, mit dem ich dies wirklich lösen könnte. Habt ihr eine andere Idee?
Ich habe diese Frage in keinem Forum auf anderen Internetseiten gestellt, jedoch bereits mit Bekannten darüber geredet.
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(Antwort) noch nicht fertig  | | Datum: | 16:27 So 03.04.2005 | | Autor: | Christian |
> Gegeben: Die Vektoren [mm]\vec{a}, \vec{b}, \vec{c}[/mm] sind
> linear unabhängig (l.u.)
>
> Zeige die lineare Unabhängigkeit der Vektoren
> [mm]\vec{d}= \vec{a}[/mm]
> [mm]\vec{e}[/mm] = [mm]3\vec{a}[/mm] + [mm]2\vec{b}[/mm] -
> [mm]7\vec{c}[/mm]
> [mm]\vec{f}[/mm] = [mm]3\vec{b}[/mm] - [mm]\vec{c}[/mm]
>
> Dürfte sich laut der Definition der linearen Unabhängigkeit
> [mm]\vec{a}[/mm] überhaupt durch eine Addition von [mm]\vec{b}[/mm] und
> [mm]\vec{c}[/mm] ersetzen lassen?
Nein, das ist er aber doch auch nicht, oder?
> Ich habe selbst versucht, die Aufgabe über den Ansatz zu
> lösen, dass die Addition [mm]t*\vec{d}, s*\vec{e}, r*\vec{f}= \vec{0}[/mm]
> nur für t,s,r=0 stimmt.
Die Idee ist so genau richtig.
Du erhältst dann: $t*d+s*e+r*f=t*a+s*(3a+2b-7c)+r*(3b-c)=(t+3s)*a+(2s+3r)*b-(7s+r)*c=0$
Und da die Vektoren a,b,c linear unabhängig sind, muß damit auch
$t+3s=0$
$2s+3r=0$
$7s+r=0$
gelten.
Das sollte dir eigentlich schon weiterhelfen...
Sollten Verständnisfragen auftreten, kannst Du dich ja nochmal melden.
Gruß,
Christian
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