Bewegungen um den Ursprung < Moduln/Vektorraum < Lineare Algebra < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 16:22 So 03.05.2015 | | Autor: | annka. |
| Aufgabe | Wie sehen die räumlichen Bewegungen um den Ursprung aus?
(Es genügt, die Gleichungen, welche die Koordinaten [mm] a_{11}, a_{12}, a_{13},... [/mm] erfüllen, zu bestimmen.) |
Hallo! :)
meine Überlegung wäre gewesen, dass die Gleichungen so aussehen müssten wie die für die Bewegungen in der Ebene, nur eben noch zusätzlich für [mm] a_{13},....
[/mm]
Bin ich da auf dem richtigen Weg oder muss ich da ganz anders anfangen? Ich hab leider nichts zu diesem Thema gefunden, sondern nur für Physik..
Vielen Dank schon mal :)
Ich habe diese Frage in keinem Forum auf anderen Internetseiten gestellt.
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(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 17:51 So 03.05.2015 | | Autor: | Marcel |
Hallo,
> Wie sehen die räumlichen Bewegungen um den Ursprung aus?
> (Es genügt, die Gleichungen, welche die Koordinaten
> [mm]a_{11}, a_{12}, a_{13},...[/mm] erfüllen, zu bestimmen.)
> Hallo! :)
> meine Überlegung wäre gewesen, dass die Gleichungen so
> aussehen müssten wie die für die Bewegungen in der Ebene,
> nur eben noch zusätzlich für [mm]a_{13},....[/mm]
> Bin ich da auf dem richtigen Weg oder muss ich da ganz
> anders anfangen? Ich hab leider nichts zu diesem Thema
> gefunden, sondern nur für Physik..
> Vielen Dank schon mal :)
![[willkommenmr]](/images/smileys/willkommenmr.png "[willkommenmr]")
Ganz ehrlich: Ich kann mit der Aufgabenstellung so viel anfangen, wie
wenn man mir sagt: Zeichnen Sie alle Graphen der Funktionen
$f [mm] \colon \IR \to \IR\,.$
[/mm]
Gibt's Definitionen von *räumlichen Bewegungen (um den Ursrpung)*. Was
sind das für Koordinaten [mm] $a_{11}=a_{1,1},a_{12}=a_{1,2}, a_{13}=a_{1,3}$?
[/mm]
Wieso kommen danach noch ...?
Also am Besten mal mehr zum Zusammenhang sagen!
Gruß,
Marcel
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(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 20:02 So 03.05.2015 | | Autor: | annka. |
Danke für die Antwort!
ALso ich soll die Gleichung angeben,die Bewegungen um den Ursprung bescheibt, und muss auch dazu schreiben wie ich darauf gekommen bin, also was für die Koeffizienten gelten muss..Da wollte ich dann vorgehen wie bei der Ebene, nur das ich im Raum 3 Grundvektoren [mm] (e_{1}, e_{2}, e_{3}) [/mm] brauche. Da war ich mir aber unsicher ob das so stimmt oder nicht
Also wie für die Ebene, wo es [mm] l(e_{1})=a_{1}e{1}+a_{2}e_{2} [/mm] heißt, nur eben für den Raum..
Die a sind dabei ja Koeffizienten, die zu den Grndvektoren gehören
Ich hoff ich war diesmal verständlicher :)
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(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 20:13 So 03.05.2015 | | Autor: | abakus |
> Danke für die Antwort!
> ALso ich soll die Gleichung angeben,die Bewegungen um den
> Ursprung bescheibt, und muss auch dazu schreiben wie ich
> darauf gekommen bin, also was für die Koeffizienten gelten
> muss..Da wollte ich dann vorgehen wie bei der Ebene, nur
> das ich im Raum 3 Grundvektoren [mm](e_{1}, e_{2}, e_{3})[/mm]
> brauche. Da war ich mir aber unsicher ob das so stimmt oder
> nicht
> Also wie für die Ebene, wo es
> [mm]l(e_{1})=a_{1}e{1}+a_{2}e_{2}[/mm] heißt, nur eben für den
> Raum..
> Die a sind dabei ja Koeffizienten, die zu den Grndvektoren
> gehören
>
> Ich hoff ich war diesmal verständlicher :)
Nein, war es nicht.
Das ist wie "die Erde umkreisen".
Da kann man z.B. einmal den Äquator ablaufen.
Man kann aber auch zum Nordpol fliegen, mit dem Fallschirm abspringen und dort die Erdachse in einem Meter Abstand zum Nordpol umkreisen.
Definiere ganz klar, was du meinst mit "Ursprung im Raum umkreisen".
Falls es keine selbst ausgedachte Aufgabenstellung ist, schreibe bitte die ungekürzte Originalaufgabe.
Gruß Abakus
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(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 20:17 So 03.05.2015 | | Autor: | annka. |
Das war die ganze wo auf einem Übungsblatt steht, mehr steht nicht dabei...
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(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 21:20 So 03.05.2015 | | Autor: | Marcel |
Hallo,
> Das war die ganze wo auf einem Übungsblatt steht, mehr
> steht nicht dabei...
kannst Du das eventuell verlinken (nicht selbst hochladen, NUR, wenn es
eh frei im Netz steht)?!
Gruß,
Marcel
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(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 22:22 So 03.05.2015 | | Autor: | annka. |
Ich kann leider den Link nicht angeben, weil man sich dazu anmelden muss um die Blätter lesen zu können..
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(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 22:50 So 03.05.2015 | | Autor: | Marcel |
Hallo,
dann etwas mehr um das ganze Drumherum:
Habt ihr präzise definiert, was ihr *räumliche Bewegung [um den Ursprung]*
nennen wollt? Es gibt ja nicht nur Kreisbahnen, Ellipsenbahnen usw.
Ich kann mir kaum vorstellen, dass ihr alle Bewegungen beschreiben sollt.
Wie soll das gehen?
Das wäre die eierlegende Wollmilchsau...
(Man kann es sicher in einem gewissen Sinne noch sehr abstrakt beschreiben,
mit Geschwindigkeiten, Beschleunigungen, Impulsen usw.)
Orientiert ihr Euch an irgendeinem Standardlehrwerk (Mathematik, Physik, ...)?
Gruß,
Marcel
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(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 22:55 So 03.05.2015 | | Autor: | annka. |
Ich denke mal dass es nur um Spiegelungen und Drehungen geht..
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(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 22:57 So 03.05.2015 | | Autor: | abakus |
Hallo annka,
erst einmal (leider verspätet): .
Es ist kein böser Wille von uns, aber die dürftigen Angaben zur Aufgabensituation machen es einfach unmöglich, eine für dich hilfreiche Antwort zu geben.
Wie soll der Weg aussehen?
Gibt es konkretere Festlegungen (z.B. dass die Bewegung in einer Ebene erfolgen soll, in der auch der Ursprung liegt)?
Wenn ja, sollen es Kreisbahnen oder beliebige Bahnen sein?
Wie sahen die entsprechenden Gleichungen mit [mm] $a_{11}$ [/mm] und [mm] $a_{12}$ [/mm] aus, die ihr offensichtlich in der Ebene hattet?
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(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 23:42 So 03.05.2015 | | Autor: | annka. |
Eingabefehler: "{" und "}" müssen immer paarweise auftreten, es wurde aber ein Teil ohne Entsprechung gefunden (siehe rote Markierung)
Eingabefehler: "{" und "}" müssen immer paarweise auftreten, es wurde aber ein Teil ohne Entsprechung gefunden (siehe rote Markierung)
Das bereitet mir auch Probleme, weil ich selber nicht so genau weiß wie ich da anfangen soll..trotzdem vielen Dank für die Mühe!! :)
Also es dürfte eigentlich nur um Spiegelungen und Drehungen gehen, weil wir was anderes noch nicht gemacht haben..
Für die Ebene sah das so aus:
Also die Grundvektoren sind $e_{1}$ und $e_{2}$ und l soll die Bewegung sein.
Dann gilt für $x=x_{1}e_{1}+x_{2}e_{2}$:
$l(x_{1}e_{1}+x_{2}e_{2})= x_{1}l(e_{1})+x_{2}l(e_{2})$
Dann kann ich $l(e_{1}), l(e_{2})$ darstellen als:
$l(e_{1})= a_{1,1}e_{1}+a_{1,2}e_{2}$
$l(e_{2})= a_{2,1}e_{1}+a_{2,2}e_{2}$
Die Bedingungen an $a_{i,j} i,j=(1,2)$ sind erfüllt wenn wir
$l(x)=x_{1}l(e_{1})+x_{2}l(e_{2})$
setzen für $x=x_{1}e_{1}+x_{2}e_{2}$
mit $x=e_{1}$ und $y=e_{1}$ liefert
$(l(e_{1}, l(e_{1})=(e_{1}, e_{1})=1$ , d.h.
$(a_{1,1})^2+(a_{1,2})^2=1$
2,2
mit $x=e_{2}$ und $y=e_{2}$ ergibt
$(l(e_{2}, l(e_{2})=(e_{2}, e_{2})=1$ , d.h.
$(a_{2,1})^2+(a_{2,2})^2=1$
mit $x=e_{1}$ und $y=e_{2}$ folgt weiter
$(l(e_{1}, l(e_{2})=(e_{1}, e_{2})=0$ , d.h.
$a_{1,1}a_{2,1}+a_{1,2}a_{2,2}=0$
Wir betrachten zunächst den Fall, dass $a_{1,1} \not= 0$ ist.
Dann folgt:
$a_{2,1}=- \bruch{a_{2,2}}{a_{1,1}} a_{1,2}$.
Wir setzen:
$\lambda := - \bruch{a_{2,2}}{a_{1,1}} a_{1,2}$ , also
$a_{2,1}= \lambda a_{1,2}$
$a_{2,2}=- \lambda a_{1,1}$
Dann folgt:
$\lambda^2 a_{1,2}^2 + \lambda^2 a_{1,1}^2=1$
$\lambda^2=1$, d.h. $\lambda=+ bzw. - 1$
Es gilt also in diesem Fall
$l(e_[1})=a_{1}e_{1}+ a_{2}e_{2}$
$l(e_{2})= \lambda a_{2}e_{1}- \lambda a_{1}e_{2}$
=+ bzw. $-(a_{2}e_{1}- a_{1}e_{2})$
wobei $a_{1}=a_{1,1}, a_{2}=a_{1,2}$.
Ist $a_{1,1}=0$, so folgt dass $a_{1,2}= \pm 1 ; a_{2,2}=0; a_{2,1}= \pm 1 $
Setzen wir $a_{1}=0, a_{2}= \pm 1$, so berechnen sich $l(e_[1}), l(e_{2})$ nach den obigen Formeln. Es gilt stets:
$a_{1}^2+a_{2}^2=1.$
Wir können also eine Bewegung um den Ursprung beschreiben durch:
$l(e_{1})=a_{1}e_{1}+ a_{2}e_{2}$
$l(e_{2})=\pm (a_{2}e_{1}+ a_{1}e_{2})$, wobei $a_{1}^2+a_{2}^2=1$
und
$l(x)=x_{1}l(e_{1})+x_{2}l(e_{2})$ für $x=x_{1}e_{1}+x_{2}e_{2}$.
Das hatten wir für die Ebene
Entschuldigung für die späte Antwort, hat bisschen gedauert ;)
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(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 09:00 Mo 04.05.2015 | | Autor: | chrisno |
Ich habe Deinen Beitrag mal etwas lesbarer gestaltet. Ich hoffe, dass Du damit einverstanden bist.
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(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 22:01 So 03.05.2015 | | Autor: | chrisno |
Vielleicht hilft es auch, wenn Du ein, zwei Beispiele für die Ebene ausführlicher darstellst.
Kannst Du eine Bewegung in der Ebene mit einfachen Worten beschreiben, Kreis, Gerade könnten passend sein.
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(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 22:52 So 03.05.2015 | | Autor: | annka. |
Ist es dann schon richtig theoretisch wie in der Ebene vorzugehen, natütlich dann mit drei Grundvektoren und Koeffizienten?
Also die Grundvektoren sind [mm] e_{1}, e_{2}, e_{3} [/mm] und l soll die Bewegung sein.
Dann gilt für [mm] x=x_{1}e_{1}+x_{2}e_{2}+x_{3}e_{3}:
[/mm]
[mm] l(x_{1}e_{1}+x_{2}e_{2}+x_{3}e_{3})= x_{1}l(e_{1})+x_{2}l(e_{2})+x_{3}l(e_{3})
[/mm]
Dann kann ich [mm] l(e_{1}), l(e_{2}) [/mm] und [mm] l(e_{3}) [/mm] darstellen als:
[mm] l(e_{1})= a_{1,1}e_{1}+a_{1,2}e_{2}+a_{1,3}e_{3}
[/mm]
[mm] l(e_{2})= a_{2,1}e_{1}+a_{2,2}e_{2}+a_{2,3}e_{3}
[/mm]
[mm] l(e_{3})= a_{3,1}e_{1}+a_{3,2}e_{2}+a_{3,3}e_{3}
[/mm]
Dann stellt sich ja die Frage welche Eigenschaftfen die Koeffizienten erfüllen müssen... stimmt das soweit eigentlich?
Vielen Dank für die Antworten :)
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(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 09:10 Mo 04.05.2015 | | Autor: | chrisno |
Das ist wohl die Idee der Aufgabe. Als nächste Bedingung sollen sicher die Längen erhalten bleiben, also zum Beispiel das Skalarprodukt [mm] $(l(e_1),l(e_1))=1$ [/mm]
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 09:40 Mo 04.05.2015 | | Autor: | fred97 |
Eine Abbildung [mm] $f:\IR^n \to \IR^n$ [/mm] heißt eine Bewegung, wenn es eine orthogonale $n [mm] \times [/mm] n$ - Matrix A und ein $b [mm] \in \IR^n$ [/mm] gibt mit:
$f(x)=Ax+b$
Mit "Bewegungen um den Ursprung" könnte evtl. gemeint sein: $b=0$.
FRED
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