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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 15:33 Fr 28.01.2011 | | Autor: | nooschi |
| Aufgabe | beweise: [mm] $$\int _0^\infty \left\vert\frac {1-e^{n(i-y)}}{y-i}\right\vert dy<\infty$$
[/mm]
[mm](n>0)[/mm] |
Hallo zusammen
obiges soll bewiesen werden (damit dann mit einer anderen Funktion Lebesgues dominierte Konvergenz verwendet werden kann)
ich habe jetzt relativ viel rumgerechnet, bin aber nicht wirklich weit gekommen. Die Betragsstriche stören ja irgendwie, man kann so gar nix machen (Substitution, partielle Integration etc) deshalb habe ich versucht, den Ausdruck auszurechnen (bzw nochmals nach oben abzuschätzen) so dass die Norm weggeht, wobei es nicht wirklich schöner wurde...
Falls es jemand interessiert:
$ [mm] \left\vert\frac {1-e^{n(i-y)}}{y-i}\right\vert =\frac {\left\vert1-e^{n(i-y)}\right\vert}{\sqrt{y^2+1}}\leq\frac {1+e^{-ny}}{\sqrt{y^2+1}}=...?$
[/mm]
bin ich auf dem Holzweg?
Grüsse
nooschi
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[mm]\left| \frac{1 - \operatorname{e}^{n \left( \operatorname{i} - y \right)}}{y - \operatorname{i}} \right| \geq \frac{1 - \operatorname{e}^{-ny}}{1+y}[/mm] für [mm]y \geq 0[/mm] (folgt aus den Dreiecksungleichungen)
Da der Zähler für [mm]y \to \infty[/mm] streng monoton wachsend gegen 1 strebt, ist er etwa für [mm]y \geq 1[/mm] durch eine Zahl [mm]\gamma > 0[/mm] nach unten beschränkt. Es folgt:
[mm]\left| \frac{1 - \operatorname{e}^{n \left( \operatorname{i} - y \right)}}{y - \operatorname{i}} \right| \geq \frac{\gamma}{1+y}[/mm] für [mm]y \geq 1[/mm]
Und das sieht für die Konvergenz nicht gut aus.
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(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 12:54 Sa 29.01.2011 | | Autor: | nooschi |
na super :D:D ich liebe die Brauchbarkeit unserer Musterlösungen (wohlbemerkt: des ist die einzige Serie wo wir Musterlösungen bekommen haben...)
naja, aber demfall danke vielmals für die Mühe, dann öhm... muss ich die Aufgabe wohl grundsätzlich anders lösen ;)
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