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| Aufgabe | z.z. oder widerlegen:
a) [mm] (a_{n}) [/mm] monoton wachsend (fallend) --> [mm] (-a_{n}) [/mm] monoton fallend (wachend)
b) [mm] (a_{n}) [/mm] monoton wachsend --> [mm] (|a_{n}|) [/mm] monoton wachsend
c) [mm] (a_{n}) [/mm] > 0 und [mm] a_{n} [/mm] n. o. beschränkt --> [mm] ((1/a_{n}) [/mm] n. u. u. n. o. beschränkt |
a) [mm] (a_{n}) [/mm] monoton wachsend --> [mm] (a_{n+1}) \ge (a_{n}) [/mm] | *(-1)
[mm] (-a_{n+1}) \le (-a_{n}) [/mm] (Ungleichheitszeichen dreht sich um) -->
[mm] (-a_{n}) [/mm] monoton fallend
(analoge Betrachtung, wenn [mm] (a_{n}) [/mm] monoton fallend
b) [mm] (a_{n}) [/mm] monoton wachend --> [mm] (a_{n+1}) \ge (a_{n}) [/mm] --> [mm] \bruch{a_{n+1})}{a_{n})} \ge [/mm] 0
Und nun? Um Zähler und Nenner den Betrag rum, dann ist es immer noch [mm] \ge [/mm] 0, aber ich hab das Gefühl, dass es da ein Gegenbesipeil gibt, oder?
c) [mm] (a_{n}) [/mm] > 0 --> [mm] (1/a_{n}) [/mm] < 0 (Ungleichheitszeichen dreht sich um)
Und nun?
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| Status: |
(Antwort) fertig  | | Datum: | 12:50 Do 08.05.2008 | | Autor: | leduart |
Hallo
zu [mm] b)a_n=-1/2^n [/mm] ist monoton wachsend.
zu c) falsch! 2>0 1/2>0
du schliesst aus a<b 1/a>1/b das gilt nur, wenn a,b>0
du musst also a>0 folgt a>r>0 [mm] a_n [/mm] nach oben beschränkt heisst [mm] a_n0>r [/mm] ist ja nach unten beschränkt.
Gruss leduart
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Hallo nochmal!
Danke!
Also b) ist klar.
Fallunterscheidung:
Als Gegenbsp. hab ich noch (-1/n).
Aber für alle an positiv für alle n ist die Beh. ok, da die Betragsstriche keine Veränderung bedeuten.
c) versteh ich leider nicht trotz deiner Hilfe.
War denn mein Ansatz falsch oder ist die Beh. an sich falsch?
Wär schön, wenn mir da nochmal jemand auf die Sprünge helfen könnte.
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| Status: |
(Antwort) fertig | | Datum: | 23:00 Mi 14.05.2008 | | Autor: | Merle23 |
> c) versteh ich leider nicht trotz deiner Hilfe.
> War denn mein Ansatz falsch oder ist die Beh. an sich
> falsch?
Die Behauptung ist falsch.
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Ah, danke, ok.
Aber warum ist die falsch?
Meine Bsp. klappen bis jetzt oder hab' ich da was übersehen?
Gibt's denn da ein Gegenbeispiel?
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Hallo Morgenroth,
Was ist mit ner einfachen Folge, sagen wir [mm] $(a_n)_{n\in\IN}=\left(\frac{1}{n}\right)_{n\in\IN}$
[/mm]
Da ist [mm] $a_n>0$ [/mm] für alle [mm] $n\in\IN$ [/mm] und nach oben beschränkt ist die Folge auch (durch 1)
Was ist dann mit [mm] $\left(\frac{1}{a_n}\right)_{n\in\IN}$ [/mm] ?
Gruß
schachuzipus
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