Betragsungleichung lösen < Klassen 8-10 < Schule < Mathe < Vorhilfe
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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 17:29 Fr 15.10.2004 | | Autor: | renguard |
Ich habe diese Frage in keinem Forum auf anderen Internetseiten gestellt.
Hallo habe folgendes Problem:
Ich habe die Aufgabe gelöst allerdings komm ich mit der lösung nicht ganz klar.
Die Aufgabe und Rechnung: (Beim Editor ist leider kein Betragszeichenm, z.B / [mm] x^{2}-2x-2/ [/mm] soll einen Betrag darstellen)
/ [mm] x^{2}-2x-2/ [/mm] < 2x-1
1. Fallunterscheidung
[mm] x^{2}-2x-2 [/mm] < 2x-1 v [mm] -x^{2}+2x+2 [/mm] < 2x-1
Berechnug 1. Fall mit Ergebnis: [mm] x_{1} [/mm] < [mm] \wurzel{5}+2 [/mm] v [mm] x_{2} [/mm] > [mm] 2-\wurzel{5}
[/mm]
Berechnug 2. Fall mit Ergebnis: [mm] x_{3} [/mm] > [mm] \wurzel{3} [/mm] v [mm] x_{4} [/mm] < - [mm] \wurzel{3}
[/mm]
Die Graphen sehen Folgendermaßen aus: [Dateianhang nicht öffentlich]
dem nach sind [mm] x_{1} [/mm] und [mm] x_{3} [/mm] richtige Lösungen. Was ist aber mit [mm] x_{2} [/mm] und [mm] x_{4}??? [/mm] Da kriege ich keine Logik rein...
Schon vielen Dank für eure Hilfe
Mfg
renguard
Dateianhänge:
Anhang Nr. 1 (Typ: bmp) [nicht öffentlich]
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 17:42 Fr 15.10.2004 | | Autor: | Thomie |
Du hast da eine Kleinigkeit übersehen:
Wenn du deine Fallunterscheidung machst, setzt du daran gewisse Bedingungen an das x.
> / [mm]x^{2}-2x-2/[/mm] < 2x-1
>
> 1. Fallunterscheidung
>
> [mm]x^{2}-2x-2[/mm] < 2x-1 v [mm]-x^{2}+2x+2[/mm] < 2x-1
>
Im ersten Fall setzt du [mm]x^{2}-2x-2 \geq 0[/mm] voraus.
Du musst hinterher auch überprüfen, ob das auch immer noch so ist.
Mit diesen Informationen dürfte dir nun die Sache klarer werden, hoffe ich.
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 18:52 Fr 15.10.2004 | | Autor: | renguard |
Danke für dein Posting,
habe die Ergebnise den Bedingunen ( 1.Fall [mm] \ge0 [/mm] und 2.Fall <0) nach geprüft und erhalte das demnach [mm] x_{1}, x_{4} [/mm] richtig seien und [mm] x_{2} [/mm] und [mm] x_{3} [/mm] Falsch.
Was wiederum nicht mit dem Graphen übereinstimt. Oder ich habe irgendwo einen Fehler den ich ständig übersehe. Dabei habe ich diese Aufgabe schon mehrfach durchgerechnet.... Das alte weggeschmissen und schon dreimal Neugerechnet
Wo habe ich einen Fehler???
Was erhaltet ihr für Lösungen???
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(Antwort) fertig | | Datum: | 19:25 Fr 15.10.2004 | | Autor: | Sigrid |
Hallo Renguard,
ich glaube, ich habe deinen Fehler. Ich habe allerdings noch nicht geprüft, ob ich rechnerisch zu deiner zeichnerischen Lösung komme.
Du hast als ersten Fall
[mm]x^2-2x-2 < 2x-1 \wedge x^2-2x-2 > 0 [/mm]
Die Lösung der ersten Ungleichung ist
[mm]2-\wurzel{5}
Du kannst es durch Einsetzten der 0 schnell überprüfen.
Ich hoffe, jetzt klappt es
Gruß Sigrid
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 20:35 Fr 15.10.2004 | | Autor: | renguard |
Das ist genau der mein Ansatz mit dem ich auch gerechnet habe, sollte den ersten Artikel mal editieren.
Der Ansatz sieht auf deine Schreibweise so aus: [mm] x^{2}-2x-2 [/mm] < 2x-1 [mm] \wedge x^{2}-2x-2 \ge [/mm] 0 v [mm] -x^{2}+2x+2 [/mm] < 2x-1 [mm] \wedge -x^{2}+2x+2 [/mm] < 0
Das heisst 1.Fall ist: [mm] x^{2}-2x-2 [/mm] < 2x-1 [mm] \wedge x^{2}-2x-2 \ge [/mm] 0
Und zweiter Fall ist ( verknüpfung durch "oder"): [mm] -x^{2}+2x+2 [/mm] < 2x-1 [mm] \wedge -x^{2}+2x+2 [/mm] < 0
Die Lösungen die raus hast entsprechen auch genau meinen, nach einer Prüfung der Lösung ist die [mm] x_{2} [/mm] = [mm] 2-\wurzel{5} [/mm] keine Lösung des festgelegten Def.-bereichs. So wie [mm] x_{3}= \wurzel{3}
[/mm]
mfg und Danke
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(Antwort) fertig | | Datum: | 00:58 Sa 16.10.2004 | | Autor: | Stefan |
Hallo renguard!
Wir gehen jetzt alles noch einmal in Ruhe durch:
1. Fall: [mm]x^2 - 2x -2 \ge 0[/mm]
Dieser Fall ist erfüllt für
(1) $x [mm] \in (-\infty,1-\sqrt{3}] \cup [1+\sqrt{3},+\infty)$
[/mm]
In diesem Fall ist die folgende Ungleichung zu lösen:
[mm] $x^2 [/mm] -2x-2 < 2x-1$,
also:
[mm] $x^2 [/mm] - 4x - 1 < 0$.
Diese Ungleichung ist erfüllt für
(2) $x [mm] \in (2-\sqrt{5},2+\sqrt{5})$.
[/mm]
Nun schauen wir uns mal die Schnittmenge von (1) und (2) an, also diejenigen $x$, für die beide Ungleichungen erfüllt sind. Diese Schnittmenge ist gerade wegen [mm] $1-\sqrt{3} [/mm] < 2 - [mm] \sqrt{5}$:
[/mm]
[mm] $\IL_1 [/mm] = [mm] [1+\sqrt{3}, [/mm] 2 + [mm] \sqrt{5})$.
[/mm]
2. Fall: [mm]x^2 - 2x -2 \ge 0[/mm]
Dieser Fall ist erfüllt für
(3) $x [mm] \in (1-\sqrt{3},1+\sqrt{3})$
[/mm]
In diesem Fall ist die folgende Ungleichung zu lösen:
[mm] $-x^2 [/mm] +2x+2 < 2x-1$,
also:
[mm] $x^2 [/mm] + 3 > 0$.
Diese Ungleichung ist erfüllt für
(4) $x [mm] \in (-\infty,-\sqrt{3}) \cup (\sqrt{3},\infty)$.
[/mm]
Nun schauen wir uns mal die Schnittmenge von (3) und (4) an, also diejenigen $x$, für die beide Ungleichungen erfüllt sind. Diese Schnittmenge ist gerade$:
[mm] $\IL_2 [/mm] = [mm] (\sqrt{3}, [/mm] 1 + [mm] \sqrt{3})$.
[/mm]
Die Lösungsmenge [mm] $\IL$ [/mm] des Gesamtproblems ist nun einfach die Vereinigung beider Teillösungsmengen:
[mm] $\IL [/mm] = [mm] \IL_1 \cup \IL_2 [/mm] = [mm] (\sqrt{3}, 2+\sqrt{5})$,
[/mm]
was auch mit deinem Bildchen schön übereinstimmt. 
Liebe Grüße
Stefan
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(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 16:03 So 17.10.2004 | | Autor: | renguard |
Danke für die Hilfe, hat mir sehr geholfen.
Habe meine Fehler gefunden. Ich habe die Definitionsbereiche für die beiden Fälle nicht aufgestellt und dann mit der jeweiligen Lösung geschnitten.
Mfg und Danke
renguard
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