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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 13:03 Mi 05.09.2012 | | Autor: | PaulW89 |
| Aufgabe | Bestimmen Sie die Menge aller reellen Zahlen, die die Ungleichungen
[mm] 1\le|\bruch{7x-5}{-4x+3}|<2
[/mm]
erfüllen, als Vereinigung von Intervalen dar. |
Hallo,
die letzte Aufgabe dieser Art ist schon ein wenig her und mein Wissen muss aufgefrischt werden.
Erstmal muss ich eine Fallunterscheidung machen, um die lästigen Betragsstriche wegzubekommen:
Fall 1:
[mm] \bruch{7x-5}{-4x+3} \ge [/mm] 0 [mm] \Rightarrow 1\le\bruch{7x-5}{-4x+3}<2
[/mm]
Hier komme ich auf [mm] x\ge\bruch{8}{11}.
[/mm]
Fall 2:
[mm] \bruch{7x-5}{-4x+3} [/mm] < 0 [mm] \Rightarrow 1\le-\bruch{7x-5}{-4x+3}<2
[/mm]
Hier entsprechend [mm] x<\bruch{8}{11}.
[/mm]
Nun bearbeite ich Fall 1:
Grenzen verändern (1 subtrahieren):
[mm] 0\le\bruch{7x-5}{-4x+3}-1<1
[/mm]
Der linke Teil gilt ja bereits durch meine Fallunterscheidung, kann ich also weglassen, damit es sich besser (oder überhaupt erst?!) rechnen lässt:
[mm] \bruch{7x-5}{-4x+3}-1<1
[/mm]
Hier komme ich auf [mm] x<\bruch{11}{15}
[/mm]
Bearbeite Fall 2:
Grenzen verändern (2 subtrahieren):
[mm] -1\le-\bruch{7x-5}{-4x+3}-2<0
[/mm]
Wird zu:
[mm] -\bruch{7x-5}{-4x+3}-2<0
[/mm]
Hier komme ich auf [mm] x>\bruch{1}{15}
[/mm]
[mm] \IL_1=\{\bruch{8}{11}\le x<\bruch{11}{15}\}
[/mm]
[mm] \IL_2=\{\bruch{1}{15}< x<\bruch{8}{11}\}
[/mm]
[mm] \IL_{gesamt}=\{\bruch{8}{11}\le x<\bruch{8}{11}\}=\{0\}
[/mm]
So.
Irgendwas ist hier gehörig schief gelaufen. Mag mir hier jemand etwas unter die Arme greifen?
Bin ich mit meinem "Grenzen verändern" auf dem Holzweg?
Gruß,
Paul!
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Hallo, zunächst bedenke, [mm] -4x+3\not=0
[/mm]
Fall 1:
[mm] \bruch{7x-5}{-4x+3}\ge0
[/mm]
Fall 1.1.:
[mm] 7x-5\ge0 [/mm] und -4x+3>0
Fall 1.2.:
[mm] 7x-5\le0 [/mm] und -4x+3<0
Fall 2:
[mm] \bruch{7x-5}{-4x+3}<0
[/mm]
Fall 2.1.:
7x-5<0 und -4x+3>0
Fall 2.2.:
7x-5>0 und -4x+3<0
Steffi
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 14:20 Mi 05.09.2012 | | Autor: | PaulW89 |
Ich danke dir für deine Antwort! Leider hat es noch nicht klick gemacht...
Nun habe ich vier Fälle und entsprechende Bereiche für x, aber ich weiß wirklich nicht, wie mir das nun weiterhilft! :/
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 14:45 Mi 05.09.2012 | | Autor: | Axiom96 |
> Ich danke dir für deine Antwort! Leider hat es noch nicht
> klick gemacht...
> Nun habe ich vier Fälle und entsprechende Bereiche für
> x, aber ich weiß wirklich nicht, wie mir das nun
> weiterhilft! :/
Du kannst doch jetzt für alle Fälle einzeln leicht nach x umformen, da du die Beträge jetzt los wirst, wenn du weißt, ob der Term da drin größer oder kleiner als 0 ist. Dafür kannst du [mm] \ge1 [/mm] und <2 getrennt betrachten. Dann hast du viele verschiedene Ungleichungen für x und diejenigen x, die alle erfüllen, bilden deine Lösungsmenge.
So sollte es recht leicht funktionieren.
Viele Grüße
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