Betragsungleichung / 3 Beträge < eindimensional < reell < Analysis < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
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| Aufgabe | | [mm]\left|\left| x-2\right| - \left| x \right| \right| < 1 ;x\in\IR[/mm] |
Hallo zusammen, ich sitze nun schon eine Weile an der Aufgabe und es ist wie verhext.
Laut FunkyPlot müsste die Lösungsmenge [mm]\IL = (0.5,1.5)[/mm] sein, doch wie kommt man rechnerisch auf das Ergebnis.
I. Fallunterscheidung durchführen
1.[mm]\left|x-2\right|-\left|x\right| \ge 0[/mm]
1.1. ??
2.[mm]\left|x-2\right|-\left|x\right| < 0[/mm]
2.2. ??
Kann mir jmd einen Denkanstoss geben, seh den Wald vor lauter Beträgen nicht....
LG
Ich habe diese Frage in keinem Forum auf anderen Internetseiten gestellt.
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Hallo MrGreenhorn,
![[willkommenmr]](/images/smileys/willkommenmr.png "[willkommenmr]")
> [mm]\left|\left| x-2\right| - \left| x \right| \right| < 1 ;x\in\IR[/mm]
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> Hallo zusammen, ich sitze nun schon eine Weile an der
> Aufgabe und es ist wie verhext.
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> Laut FunkyPlot müsste die Lösungsmenge [mm]\IL = (0.5,1.5)[/mm]
> sein, doch wie kommt man rechnerisch auf das Ergebnis.
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> I. Fallunterscheidung durchführen
>
> 1.[mm]\left|x-2\right|-\left|x\right| \ge 0[/mm]
> 1.1. ??
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> 2.[mm]\left|x-2\right|-\left|x\right| < 0[/mm]
> 2.2. ??
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> Kann mir jmd einen Denkanstoss geben, seh den Wald vor
> lauter Beträgen nicht....
Die Idee mit den Fallunterscheidungen ist richtig.
Hier hast Du 3 mögliche Fälle:
i) [mm]x \ge 2[/mm]
ii) [mm] 0 \le x < 2[/mm]
iii) [mm] x < 0[/mm]
Für jeden Fall ist nun die Lösungsmenge zu bestimmen.
Gruss
MathePower
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> LG
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> Ich habe diese Frage in keinem Forum auf anderen
> Internetseiten gestellt.
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Hallo Mathepower, danke für deine Antwort und hier gleich ein paar Fragen hinterher.
für den ersten Fall kann man, da x = positiv ist, die Beträge weglassen und zusammenfassen, oder?
i) [mm]x \ge 2[/mm]
[mm]x - 2 - x < 1[/mm]
[mm]0 < 3[/mm]
Und da ist die Crux.
Analog dazu komme ich auf ähnlichen Unsinn bei
iii)[mm] x<0[/mm]
[mm]-(-(x-2)--(x)) < 1[/mm]
[mm]0 < 3[/mm]
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Hallo MrGreenhorn,
> [mm]0 < 3[/mm]
> Und da ist die Crux.
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> Analog dazu komme ich auf ähnlichen Unsinn [...]
Wieso Unsinn? Das wäre einfach eine wahre Aussage, wenn sie zu Recht gewonnen wäre.
Dann würde der betrachtete Fall vollständig zur Lösungsmenge gehören.
Leider stimmt aber der Weg dahin nicht; Du hast die äußeren Betragsstriche unterschlagen:
> für den ersten Fall kann man, da x = positiv ist, die Beträge weglassen und
> zusammenfassen, oder?
> i) $ x [mm] \ge [/mm] 2 $
> $ [mm] \red{|}x [/mm] - 2 - [mm] x\red{|} [/mm] < 1 $
[mm] \Rightarrow [/mm] |-2|<1 [mm] \Rightarrow [/mm] 2<1.
Doch nicht wahr...
So, jetzt versuch nochmal die Fälle, die MathePower vorschlägt und dann überleg Dir, wieso FunkyPlot andere "besondere Punkte" findet. Sie liegen ja beide im zweiten vorgeschlagenen Fall. Bei dem solltest Du also ein neues Problem finden.
Viel Erfolg!
reverend
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ahh der Groschen ist gefallen (denk ich ) :)
1.[mm]x\ge2[/mm] [mm] \Rightarrow [/mm] 2 < 1 f.A.
2.[mm]x<0[/mm] [mm] \Rightarrow [/mm] 2 < 1 f.A.
3.[mm]0\le x<2[/mm] [mm] \Rightarrow[/mm] [mm]\left|-(x-2)-x\right| < 1[/mm]
[mm] \left|-2x+2\right| [/mm] < 1 [mm] \begin{cases} x\ge0, x>\bruch{1}{2} \\ x<0, x<\bruch{3}{2} \end{cases}
[/mm]
[mm] \Rightarrow \IL [/mm] = [mm] (\bruch{1}{2},\bruch{3}{2})
[/mm]
Falls ich damit richtig liege DANKE!!
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Hallo MrGreenhorn,
in der Sache alles richtig (naja, die Idee jedenfalls. Der zweite Fall in der Klammer ist ja unsinnig). Im Detail stimmt vor allem die Notation der Fallunterscheidung noch nicht, denn es ist keine:
> ahh der Groschen ist gefallen (denk ich ) :)
>
> 1.[mm]x\ge2[/mm] [mm]\Rightarrow[/mm] 2 < 1 f.A.
> 2.[mm]x<0[/mm] [mm]\Rightarrow[/mm] 2 < 1 f.A.
Ich nehme an, "f.A." heißt "falsche Annahme"? Oder heißt das "fragliche Aussage", "fidele Albernheit" oder gar "formidables Ammenmärchen"? 
> 3.[mm]0\le x<2[/mm] [mm]\Rightarrow[/mm] [mm]\left|-(x-2)-x\right| < 1[/mm]
>
> [mm]\left|-2x+2\right|[/mm] < 1 [mm]\begin{cases} x\ge0, x>\bruch{1}{2} \ \red{\text{ die erste Bedingung kannst Du Dir sparen...}} \\ x<0, x<\bruch{3}{2} \ \red{\text{wie das? Hier geht es doch um die zweite - aber die steckt schon in der ersten!}} \end{cases}[/mm]
Du solltest noch zeigen, wie Du eigentlich zu dieser Fallunterscheidung kommst.
[mm] \left|-2x+2\right|=2\left|1-x\right|<1 \Rightarrow \left|1-x\right|<\bruch{1}{2} \Rightarrow [/mm] [...]
Dann kommst Du zu
[mm] \left|-2x+2\right|<1, [/mm] wahr für [mm] \begin{cases} \bruch{1}{2}
...und das ist wegen des logischen UNDs keine Fallunterscheidung, also ohne geschweifte Klammer zu notieren.
> [mm]\Rightarrow \IL[/mm] = [mm](\bruch{1}{2},\bruch{3}{2})[/mm]
bzw. [mm] \bruch{1}{2}
> Falls ich damit richtig liege DANKE!!
Begriffen hast Du's, nur aufschreiben solltest Du es nochmal neu.
lg
rev
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