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| Aufgabe | Bestimmen Sie die Lösungsmenge der folgenden Ungleichung!
[mm] \bruch{|x²-2x-24|}{|2x-1|} \ge [/mm] 1
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Hallo,
ich hab ein Problem mit dem |2x-1| unter dem Bruch.
Zunächst habe ich die Fallunterscheidung aufgestellt:
x²-2x-24 [mm] \ge [/mm] 0 für x [mm] \ge [/mm] 6 [mm] \vee [/mm] x [mm] \le [/mm] -4
-x²+2x+24 < 0 für x > -4 [mm] \wedge [/mm] x < 6
2x-1 [mm] \ge [/mm] 0 für x [mm] \ge [/mm] 0,5
-2x+1 < 0 für x < 0,5
Ich hoffe die Fallunterscheidung ist soweit ok?
Nun zu meinem Problem.
Ich möchte z.B. den Fall x²-2x-24 und -2x+1 untersuchen.
Somit ergibt sich:
[mm] \bruch{x²-2x-24}{-2x+1} \ge [/mm] 1
Wenn ich nun die -2x+1 nach rechts rüberbringen möchte, dreht sich doch das [mm] \ge [/mm] um oder? So dass folgende Ungleichung rauskommt (jedenfalls war das immer so, wenn ich einen negativen Term aus der Fallunterscheidung nach rechts rübergebracht habe):
x²-2x-24 [mm] \le [/mm] -2x+1
Ist das so korrekt, oder gilt bei Betragsstrichen eine andere Regel?
Viele Grüße
MrSamsonite
Ich habe diese Frage in keinem Forum auf anderen Internetseiten gestellt.
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Ich schlage vor, dass du die Graphen der Zähler- und der Nennerfunktion mal zeichnest. Und zwar zunächst einmal ohne die Absolutwerte - also: [mm] f(x)=x^{2}-2x-24 [/mm] und g(x)=2x-1
Dann spiegelst du die jeweils negativen Teile an der x-Achse, so dass du die Absolut-Funktionen hast.
Dann kann man gut erkennen, an welchen Stellen die Parabel höhere Werte ausweist als die Gerade.
(Es gibt 4 Schnittpunkte.
Wenn man die Parabel und Gerade ohne Berücksichtigung die Absolutwerte als "E = echt" und mit den Berücksichtigung die Absolutwerte als "U = unecht" bezeichnet, dann sind diese Schnittpunkte von links nach rechts: EU, UU, UE und EE. = Ich glaube, das macht diese Aufgabe so kompliziert, dass man eben alle diese 4 Fälle betrachten muss)
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Hiho,
du hast recht und unrecht zugleich 
Recht hast du, daß wenn mit einer negativen Zahl multipliziert, sich das Relationszeichen umdreht.
Falsch ist eine andere Sache:
Wie du ja bereits festgestellt hast, ist [mm]2x-1 < 0[/mm] für [mm]x < \bruch{1}{2}[/mm] und damit:
[mm]|2x-1| = -(2x-1) = -2x+1 > 0[/mm]
MfG,
Gono.
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