matheraum.de
Raum für Mathematik
Offene Informations- und Nachhilfegemeinschaft

Für Schüler, Studenten, Lehrer, Mathematik-Interessierte.
Hallo Gast! [ einloggen | registrieren ]
Startseite · Forum · Wissen · Kurse · Mitglieder · Team · Impressum
Forenbaum
^ Forenbaum
Status Hochschulmathe
  Status Uni-Analysis
    Status Reelle Analysis
    Status UKomplx
    Status Uni-Kompl. Analysis
    Status Differentialgl.
    Status Maß/Integrat-Theorie
    Status Funktionalanalysis
    Status Transformationen
    Status UAnaSon
  Status Uni-Lin. Algebra
    Status Abbildungen
    Status ULinAGS
    Status Matrizen
    Status Determinanten
    Status Eigenwerte
    Status Skalarprodukte
    Status Moduln/Vektorraum
    Status Sonstiges
  Status Algebra+Zahlentheo.
    Status Algebra
    Status Zahlentheorie
  Status Diskrete Mathematik
    Status Diskrete Optimierung
    Status Graphentheorie
    Status Operations Research
    Status Relationen
  Status Fachdidaktik
  Status Finanz+Versicherung
    Status Uni-Finanzmathematik
    Status Uni-Versicherungsmat
  Status Logik+Mengenlehre
    Status Logik
    Status Mengenlehre
  Status Numerik
    Status Lin. Gleich.-systeme
    Status Nichtlineare Gleich.
    Status Interpol.+Approx.
    Status Integr.+Differenz.
    Status Eigenwertprobleme
    Status DGL
  Status Uni-Stochastik
    Status Kombinatorik
    Status math. Statistik
    Status Statistik (Anwend.)
    Status stoch. Analysis
    Status stoch. Prozesse
    Status Wahrscheinlichkeitstheorie
  Status Topologie+Geometrie
  Status Uni-Sonstiges

Gezeigt werden alle Foren bis zur Tiefe 2

Navigation
 Startseite...
 Neuerdings beta neu
 Forum...
 vorwissen...
 vorkurse...
 Werkzeuge...
 Nachhilfevermittlung beta...
 Online-Spiele beta
 Suchen
 Verein...
 Impressum
Das Projekt
Server und Internetanbindung werden durch Spenden finanziert.
Organisiert wird das Projekt von unserem Koordinatorenteam.
Hunderte Mitglieder helfen ehrenamtlich in unseren moderierten Foren.
Anbieter der Seite ist der gemeinnützige Verein "Vorhilfe.de e.V.".
Partnerseiten
Weitere Fächer:

Open Source FunktionenplotterFunkyPlot: Kostenloser und quelloffener Funktionenplotter für Linux und andere Betriebssysteme
Startseite > MatheForen > Uni-Analysis > Betragsungleichung
Foren für weitere Studienfächer findest Du auf www.vorhilfe.de z.B. Astronomie • Medizin • Elektrotechnik • Maschinenbau • Bauingenieurwesen • Jura • Psychologie • Geowissenschaften
Forum "Uni-Analysis" - Betragsungleichung
Betragsungleichung < Analysis < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
Ansicht: [ geschachtelt ] | ^ Forum "Uni-Analysis"  | ^^ Alle Foren  | ^ Forenbaum  | Materialien

Betragsungleichung: Frage
Status: (Frage) beantwortet Status 
Datum: 00:28 So 07.11.2004
Autor: SilverSurfer

Hallo!
Kann mir bitte jemand weiter helfen...

Habe folgende Aufgabe zu lösen:

3|4x-1| > 2|2-5x|-3x+4

... durch die Beträge sind jeweils 2 Fälle zu unterscheiden. 2 ergeben eine leere Menge. Stimmt meine Lösungsmenge so?
Ist das richtig  $  [mm] \IL [/mm] = [mm] \{x | x\geq\frac{3}{5} \vee x < \frac{1}{4} \} [/mm] $ ?

Ich habe diese Frage in keinem Forum auf anderen Internetseiten gestellt.
        
Bezug
Betragsungleichung: Zum Teil richtig
Status: (Antwort) fertig Status 
Datum: 03:16 So 07.11.2004
Autor: Paulus

Hallo SilverSurfer

> Hallo!
>  Kann mir bitte jemand weiter helfen...
>  
> Habe folgende Aufgabe zu lösen:
>  
> 3|4x-1| > |2-5x|-3x+4
>  
> ... durch die Beträge sind jeweils 2 Fälle zu

[ok] Welche Fälle hast du denn?

Übrigens: wenn man es geschickt macht, sind es dann insgesamt nur 3 Fälle! ;-)

> unterscheiden. 2 ergeben eine leere Menge. Stimmt meine
> Lösungsmenge so?
>  Ist das richtig  [mm]\IL = \{x | x\geq\frac{3}{5} \vee x < \frac{1}{4} \}[/mm]
> ?

[notok] Nein, leider nicht! $0_$ zum Beispiel gehört auch zu deiner Lösungsmenge, erfüllt aber die Ungleichung nicht! Das ergibt ja:

$ 3|-1| > |2|+4_$

$3 > 6_$

was offensichtlich nicht stimmt.

Ich schlage vor, du zeigst einmal, wie dur auf die falsche Lösungsmenge

[mm] $\IL [/mm] = [mm] \{x | x\geq\frac{3}{5} \vee x < \frac{1}{4} \}$ [/mm]

anstelle der richtigen Läsungsmenge

[mm] $\IL [/mm] = [mm] \{x | x < -\frac{3}{4} \vee x > \frac{1}{2} \}$ [/mm]
gekommen bist. Dann finden wir deine Fehler bestimmt heraus. :-)

Mit lieben Grüssen

Paul

Bezug
        
Bezug
Betragsungleichung: Lösungsansatz
Status: (Frage) beantwortet Status 
Datum: 13:41 So 07.11.2004
Autor: SilverSurfer

Hallo Paulus!
Erstmal vielen Dank für die Antwort.

Mein Lösungsansatz lautet wie folgt:

$ 3|4x-1| > 2|2-5x|-3x+4 $

Fall 1:   $ 4x-1 [mm] \ge [/mm] 0 [mm] \gdw [/mm] x [mm] \ge \bruch{1}{4} [/mm] $

       Fall 1.1   $ 2-5x [mm] \ge [/mm] 0 [mm] \gdw [/mm] x [mm] \le \bruch{2}{5} [/mm] $ (Vorzeichenumkehr)

            $ 3(4x-1) > 2(2-5x)-3x+4 $
            $ 12x-3 > 4-10x-3x+4 $
            $ 12x-3 > 8-13x $
            $ 25x > 11 $
            $ x > [mm] \bruch{11}{25} [/mm] $

            $ [mm] \IL_{1.1} [/mm] = [mm] \{x | x \ge \bruch{1}{4} \wedge x \le \bruch{2}{5} \wedge x > \bruch{11}{25} \} [/mm] = [mm] \{ \} [/mm] $


       Fall 1.2   $ 2-5x < 0 [mm] \gdw [/mm] x > [mm] \bruch{2}{5} [/mm] $ (Vorzeichenumkehr)

            $ 3(4x-1) > 2 * -(2-5x)-3x+4 $
            $ 12x-3 > -4+10x-3x+4 $
            $ 12x-3 > 7x $
            $ 5x > 3 $
            $ x > [mm] \bruch{3}{5} [/mm] $

            $ [mm] \IL_{1.2} [/mm] = [mm] \{x | x \ge \bruch{1}{4} \wedge x > \bruch{2}{5} \wedge x > \bruch{3}{5} \} [/mm] = [mm] \{x | x > \bruch{3}{5} \} [/mm] $



Fall 2:   $ 4x-1 < 0 [mm] \gdw [/mm] x < [mm] \bruch{1}{4} [/mm] $

       Fall 2.1   $ 2-5x [mm] \ge [/mm] 0 [mm] \gdw [/mm] x [mm] \le \bruch{2}{5} [/mm] $ (Vorzeichenumkehr)

            $ 3 * -(4x-1) > 2(2-5x)-3x+4 $
            $ -12x+3 > 4-10x-3x+4 $
            $ -12x+3 > 8-13x $
            $ -12x+13x > 8-3 $
            $ x > 5 $

            $ [mm] \IL_{2.1} [/mm] = [mm] \{x | x < \bruch{1}{4} \wedge x \le \bruch{2}{5} \wedge x > 5 \} [/mm] = [mm] \{ \} [/mm] $


       Fall 2.2   $ 2-5x < 0 [mm] \gdw [/mm] x > [mm] \bruch{2}{5} [/mm] $ (Vorzeichenumkehr)

            $ 3 * -(4x-1) > 2 * -(2-5x)-3x+4 $
            $ -12x+3 > -4+10x-3x+4 $
            $ -12x+3 > 7x $
            $ -19x > -3 $
            $ x < [mm] \bruch{3}{19} [/mm] $ (Vorzeichenumkehr)

            $ [mm] \IL_{2.2} [/mm] = [mm] \{x | x < \bruch{1}{4} \wedge x > \bruch{2}{5} \wedge x < \bruch{3}{19} \} [/mm] = [mm] \{ \} [/mm] $

$ [mm] \Rightarrow \IL [/mm] = [mm] \IL_{1.1} \cup \IL_{1.2} \cup \IL_{2.1} \cup \IL_{2.2} [/mm] = [mm] \{x | x > \bruch{3}{5} \} [/mm] $


MfG,
Sascha
Bezug
                
Bezug
Betragsungleichung: perfekt
Status: (Antwort) fertig Status 
Datum: 13:06 Di 09.11.2004
Autor: Marc

Hallo SilverSurfer!

> Mein Lösungsansatz lautet wie folgt:
>  
> [mm]3|4x-1| > 2|2-5x|-3x+4[/mm]
>  
> Fall 1:  [mm]4x-1 \ge 0 \gdw x \ge \bruch{1}{4}[/mm]
>  
> Fall 1.1  [mm]2-5x \ge 0 \gdw x \le \bruch{2}{5}[/mm]
> (Vorzeichenumkehr)
>  
> [mm]3(4x-1) > 2(2-5x)-3x+4[/mm]
>              [mm]12x-3 > 4-10x-3x+4[/mm]
>    
>           [mm]12x-3 > 8-13x[/mm]
>              [mm]25x > 11[/mm]
>            
>  [mm]x > \bruch{11}{25}[/mm]
>  
> [mm]\IL_{1.1} = \{x | x \ge \bruch{1}{4} \wedge x \le \bruch{2}{5} \wedge x > \bruch{11}{25} \} = \{ \}[/mm]

[ok]

> Fall 1.2  [mm]2-5x < 0 \gdw x > \bruch{2}{5}[/mm]
> (Vorzeichenumkehr)
>  
> [mm]3(4x-1) > 2 * -(2-5x)-3x+4[/mm]

Das ist ein bisschen unschön aufgeschrieben, also dass ein * ungeschützt auf ein - trifft, aber war wohl nur eine Nachlässigkeit (und irgendetwas muss ich zu meckern finden, sonst bin ich nicht zufrieden :-))

>              [mm]12x-3 > -4+10x-3x+4[/mm]
>  
>             [mm]12x-3 > 7x[/mm]
>              [mm]5x > 3[/mm]
>              [mm]x > \bruch{3}{5}[/mm]
>  
>
> [mm]\IL_{1.2} = \{x | x \ge \bruch{1}{4} \wedge x > \bruch{2}{5} \wedge x > \bruch{3}{5} \} = \{x | x > \bruch{3}{5} \}[/mm]

[ok]

> Fall 2:  [mm]4x-1 < 0 \gdw x < \bruch{1}{4}[/mm]
>  
> Fall 2.1  [mm]2-5x \ge 0 \gdw x \le \bruch{2}{5}[/mm]
> (Vorzeichenumkehr)
>  
> [mm]3 * -(4x-1) > 2(2-5x)-3x+4[/mm]
>              [mm]-12x+3 > 4-10x-3x+4[/mm]
>  
>             [mm]-12x+3 > 8-13x[/mm]
>              [mm]-12x+13x > 8-3[/mm]
>    
>           [mm]x > 5[/mm]
>  
> [mm]\IL_{2.1} = \{x | x < \bruch{1}{4} \wedge x \le \bruch{2}{5} \wedge x > 5 \} = \{ \}[/mm]

[ok]

> Fall 2.2  [mm]2-5x < 0 \gdw x > \bruch{2}{5}[/mm]
> (Vorzeichenumkehr)
>  
> [mm]3 * -(4x-1) > 2 * -(2-5x)-3x+4[/mm]
>              [mm]-12x+3 > -4+10x-3x+4[/mm]
>  
>             [mm]-12x+3 > 7x[/mm]
>              [mm]-19x > -3[/mm]
>            
>   [mm]x < \bruch{3}{19}[/mm] (Vorzeichenumkehr)
>  
> [mm]\IL_{2.2} = \{x | x < \bruch{1}{4} \wedge x > \bruch{2}{5} \wedge x < \bruch{3}{19} \} = \{ \}[/mm]

[ok]

> [mm]\Rightarrow \IL = \IL_{1.1} \cup \IL_{1.2} \cup \IL_{2.1} \cup \IL_{2.2} = \{x | x > \bruch{3}{5} \}[/mm]

[ok], super!
Bis auf das "Mal-Minus-Problem" eine perfekte Lösung.

Die Lösungsmenge habe ich auch zusätzlich mit []FunkyPlot überprüft, und sie stimmt (selbst wenn ich bei der Korrektur also einen Fehler übersehen hätte).

Well done,
Marc
Bezug
Ansicht: [ geschachtelt ] | ^ Forum "Uni-Analysis"  | ^^ Alle Foren  | ^ Forenbaum  | Materialien


^ Seitenanfang ^
www.unimatheforum.de
[ Startseite | Forum | Wissen | Kurse | Mitglieder | Team | Impressum ]