Betragsklammern < Differentiation < Funktionen < eindimensional < reell < Analysis < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 00:25 Do 20.12.2007 | | Autor: | Owen |
| Aufgabe | gegeben ist folgende Funktion: [mm] f(x)=ln\vmat{ tan x }
[/mm]
Bestimmen Sie den Definitionsbereich, Bereich der Differenzierbarkeit, sowie die Ableitung der Funktion. |
Meine Frage ist, ob man bei diesem Beispiel die Betragsklammern auflösen muss, wie man das genau macht und wann es nicht nötig ist.
Ich habe es folgendermaßen gemacht: [mm] \pmat{ ln (tan x), x>0 - ist-definiert -fuer (x \in \IR)\\ ln (tan x), x\le 0- ist- nicht -definiert } [/mm]
f´ [mm] (x)=\bruch{1}{tan x}*\bruch{1}{cos^{2}*x}
[/mm]
Differenzierbarkeit in x [mm] \in \IR /\{k*\bruch{1}{2}*\pi, k\in \IN\}
[/mm]
Bei den letzten Punkten habe ich keine Fallunterscheidung mehr vorgenommen, wird es so gemacht?
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> gegeben ist folgende Funktion: [mm]f(x)=ln\vmat{ tan x }[/mm]
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> Bestimmen Sie den Definitionsbereich, Bereich der
> Differenzierbarkeit, sowie die Ableitung der Funktion.
> Meine Frage ist, ob man bei diesem Beispiel die
> Betragsklammern auflösen muss, wie man das genau macht und
> wann es nicht nötig ist.
> Ich habe es folgendermaßen gemacht: [mm]\pmat{ ln (tan x), x>0 - ist-definiert -fuer (x \in \IR)\\ ln (tan x), x\le 0- ist- nicht -definiert }[/mm]
> f´ [mm](x)=\bruch{1}{tan x}*\bruch{1}{cos^{2}*x}[/mm]
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> Differenzierbarkeit in x [mm]\in \IR /\{k*\bruch{1}{2}*\pi, k\in \IN\}[/mm]
>
> Bei den letzten Punkten habe ich keine Fallunterscheidung
> mehr vorgenommen, wird es so gemacht?
Du kannst die Ableitung der Betragsfunktion [mm] $x\mapsto [/mm] |x|$ auch so schreiben: [mm] $\big(|x|\big)'=\frac{x}{|x|}$. [/mm] Dies erlaubt Dir, Fallunterscheidungen wegzulassen und einfach die Kettenregel anzuwenden:
[mm]\left(\ln(\red{|}\tan(x)\red{|})\right)'=\frac{1}{|\tan(x)|}\cdot\red{\frac{\tan(x)}{|\tan(x)|}}\cdot\frac{1}{\cos^2(x)}=\frac{\tan(x)}{\tan^2(x)}\cdot\frac{1}{\cos^2(x)}=\frac{1}{\tan(x)\cos^2(x)} = \frac{2}{\sin(2x)}[/mm]
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 23:36 Do 20.12.2007 | | Autor: | Owen |
ok, das könnte man auch machen,danke für den Tipp. Aber ich möchte trotz dessen gerne wissen, ob ich die Fallunterscheidung richtig durchgeführt habe, und wann man es machen muss, bzw. nicht machen muss.
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 00:05 Fr 21.12.2007 | | Autor: | koepper |
Hallo Owen,
eine Fallunterscheidung ist hier völlig überflüssig, es verkompliziert die Lösung allenfalls.
Die Funktion $f [mm] \colon \IR \setminus \{0\} \to \IR, [/mm] x [mm] \mapsto [/mm] f(x) := [mm] \ln [/mm] |x|$ hat die Ableitung $f' [mm] \colon \IR \setminus \{0\} \to \IR, [/mm] x [mm] \mapsto [/mm] f'(x) = [mm] \frac{1}{x}.$
[/mm]
Die Betragstriche fallen also in natürlicher Weise beim Differenzieren heraus.
Was Somebody in seinem Beitrag vorführt ist ein unnötiges Kunststück.
Sein Ergebnis ist aber natürlich trotzdem richtig.
Wir haben hier einen der relativ seltenen Fälle, in denen das Auflösen der Betragstriche durch Fallunterscheidung eben nicht notwendig ist.
LG
Will
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 00:14 Fr 21.12.2007 | | Autor: | Owen |
Also ich entnehme daraus, dass eine Fallunterscheidung nur notwendig ist, wenn es etwas an der Ableitung ändern würde, stimmt das so?
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(Antwort) fertig | | Datum: | 00:24 Fr 21.12.2007 | | Autor: | koepper |
Hallo Owen,
man kann keine festen Regeln für so etwas aufstellen. Man muß schon den Einzelfall betrachten.
Ist eine Ableitung für eine gegebene Funktion mit Betragstrichen bereits bekannt, macht man natürlich auch Gebrauch davon. Falls nicht, muß man i.d.R. die Betragstriche auflösen.
Würden bei der gegebenen Aufgabe die Betragstriche fehlen, würde das erhebliche Komplikationen verursachen:
Man müßte den Definitionsbereich dann auf die Werte einschränken, für die der Tangens strikt positive Zahlen liefert. Das würde dann natürlich auch für die Ableitung gelten.
Gruß
Will
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(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 00:30 Fr 21.12.2007 | | Autor: | Owen |
Ja, jetzt ist es mir klarer, dankeschön
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(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 15:23 Fr 21.12.2007 | | Autor: | Somebody |
> Hallo Owen,
>
> man kann keine festen Regeln für so etwas aufstellen.
Doch eben: Entweder Fallunterscheidung oder die Durchführung jenes "unnötige Tricks", den ich vorgeführt hatte. Es geht also darum, ein allgemeines und möglichst einfaches / elegantes Verfahren zu haben, die Ableitung eines Ausdrucks zu bestimmen, der Beträge enthält. Blosse Kenntnis von Spezialfällen ist doch nicht von allzu grossem Interesse.
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(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 16:26 Fr 21.12.2007 | | Autor: | koepper |
Hallo Somebody,
wie du siehst ging es bei dieser Aufgabe ohne Fallunterscheidung und ohne deinen "Trick".
Mein Vorschlag, jeweils den Einzelfall zu betrachten, zielt auch darauf ab, den jeweils einfachsten und elegantesten Weg zu finden. Es liegt mir ganz und gar fern, jemanden zum Auswendiglernen einzelner Fälle zu ermutigen. Stattsdessen sollte man über ein Repertoire vom Methoden verfügen, die man nach genauer Betrachtung des jeweiligen Falles geschickt einsetzt. Dabei dürfte auch deine Methode zu gegebener Zeit sehr nützlich sein.
LG
Will
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