Betragsgleichung < Sonstiges < Lin. Algebra/Vektor < Oberstufe < Schule < Mathe < Vorhilfe
|
| Status: |
(Frage) beantwortet  | | Datum: | 21:27 Mo 04.08.2008 | | Autor: | kappen |
| Aufgabe | Bestimme alle reelen Lösungen dieser Gleichung:
[mm] |x^2+2x-1|=|x| [/mm] |
Versuche gerade Betragsgleichungen nachzuholen, haben das nicht gemacht in der Schule...
Es gibt 4 Fälle richtig?
[mm] 1)|x^2+2x-1|>=0 [/mm] und (richtig? oder 'oder'?) |x|>=0
[mm] 2)|x^2+2x-1|<0 [/mm] und ("") |x|<0
[mm] 3)|x^2+2x-1|<0 [/mm] und ("") |x|>=0
[mm] 4)|x^2+2x-1|>=0 [/mm] und ("") |x|<0
Fall 1:
1. Betrag -> x>=0,4142 oder (und?) x>=-2,414
2. Betrag -> x>=0
Macht insgesamt x>=0,4142 <- liegt da der Fehler?
Wie nennt man das da oben? Ist das eine "Teil" Definitionsmenge?
[mm] x^2+2x-1=x [/mm] -> [mm] x_1=0,618 [/mm] oder [mm] x_2=-1,618 [/mm] -> nur [mm] x_1 [/mm] fällt in den Definitionsbereich -> [mm] L_1={0,618} [/mm]
Fall 2:
1. Betrag -> x<0,414 oder (und) x<-2,618
2. Betrag -> x<0
Macht x<-2,414
Das heißt, die Beträge sind beide negativ, wenn x kleiner -2,414 ist, richtig?!
Aus der Gleichung [mm] -x^2-2x+1=-x [/mm] kommt x=-1,618 oder x=0,618, das passt aber beides nicht in die Definitionsmenge.. ebenso ist es leider mit den anderen beiden Fällen auch, ich weiß aber, dass 4 Lösungen existieren, hab' mir mal den Graph angeguckt..
Was mach ich falsch? Vermute es ist entweder n Rechenfehler, den ich nicht finde oder ich verstehe die ganze Geschichte mit dem größer/kleiner bzw mit den Mengen nicht ..
Vielleicht schaut ja mal jmd. drüber :)
danke!
|
|
| |
|
| Status: |
(Antwort) fertig  | | Datum: | 22:40 Mo 04.08.2008 | | Autor: | uliweil |
Hallo kappen,
das mit den 4 Fällen ist im Prinzip schon korrekt, aber bitte richtig hinschreiben und dann langsam durchrechnen:
1.) [mm] x^{2} [/mm] + 2x - 1 = x und [mm] x^{2} [/mm] + 2x -1 [mm] \ge [/mm] 0 und x [mm] \ge [/mm] 0 oder
2.) [mm] x^{2} [/mm] + 2x - 1 = -x und [mm] x^{2} [/mm] + 2x -1 [mm] \ge [/mm] 0 und x < 0 oder
3.) [mm] -(x^{2} [/mm] + 2x - 1) = x und [mm] x^{2} [/mm] + 2x -1 < 0 und x [mm] \ge [/mm] 0 oder
4.) [mm] -(x^{2} [/mm] + 2x - 1) = -x und [mm] x^{2} [/mm] + 2x -1 < 0 und x < 0
Damit sind erstmal die Beträge aufgelöst.
Jetzt zum 1. Fall.
Die quadratische Gleichung lösen und dann die beiden Lösungen gegen die Bedingungen checken, also:
(x = [mm] -\bruch{1}{2} [/mm] + [mm] \bruch{\wurzel{5}}{2} [/mm] oder
x = [mm] -\bruch{1}{2} [/mm] - [mm] \bruch{\wurzel{5}}{2}) [/mm] und [mm] x^{2} [/mm] + 2x -1 [mm] \ge [/mm] 0 und x [mm] \ge [/mm] 0
Somit:
x = [mm] -\bruch{1}{2} [/mm] + [mm] \bruch{\wurzel{5}}{2} [/mm] (die andere mögliche Lösung des 1. Falles widerspricht der Bedingung x [mm] \ge [/mm] 0.)
Und bitte: [mm] -\bruch{1}{2} [/mm] + [mm] \bruch{\wurzel{5}}{2} [/mm] ist viel schöner und genauer als 0,6180339880...!
2. - 4. Fall entsprechend und dann stehen am Ende tatsächlich 4 Lösungen da.
Gruß
Uli
|
|
|
| |
|
| Status: |
(Frage) beantwortet | | Datum: | 23:20 Mo 04.08.2008 | | Autor: | kappen |
Erst einmal ganz herzlichen Dank für die korrekte Auflistung, das war sicherlich nötig.
Das heißt die einzelnen Bedingungen der Fälle sind mit 'und' verknüüft, die eigentlichen Fälle mit oder. Und dann betrachte ich einen Fall nach dem anderen und gucke, ob es Widersprüche gibt.
Ich werde morgen die Aufgabe noch einmal von vorne rechnen und mit meinen Unterlagen jetzt vergleichen, vielleicht finde ich meinen Fehler (der ist mir relativ wichtig, ist es ein Rechen- oder ein Logikfehler?!) ... Ich dachte nämlich eigentlich, dass ich die Fälle soweit (wenn auch nicht formal) richtig aufgeschrieben und berechnet habe :(
Ich rechne übrigens so gut wie immer mit exakten Werten, eigentlich hasse ich gerundete Zahlen (mir fällt einfach der richtige Begriff für die Art dieser Zahlen ein oO)..
Danke für deine Antwort,
ich werde morgen nachrechnen.
Noch was, kann ich bei [mm] x^2+x+1>=0 [/mm] sagen, dass dies immer wahr ist? Ich kann es graphisch zeigen und das Quadrat lässt auch darauf schließen, aber ich kann es nicht berechnen, bzw ich bleibe an der falschen Aussage hängen?!
Gruß und danke!!
|
|
|
| |
|
| Status: |
(Antwort) fertig | | Datum: | 01:18 Di 05.08.2008 | | Autor: | Kroni |
Hi,
>
> Noch was, kann ich bei [mm]x^2+x+1>=0[/mm] sagen, dass dies immer
> wahr ist? Ich kann es graphisch zeigen und das Quadrat
> lässt auch darauf schließen, aber ich kann es nicht
> berechnen, bzw ich bleibe an der falschen Aussage hängen?!
[mm] $x^2$ [/mm] ist sicher immer nicht negativ, aber in der Nähe von 0 dominiert der x-Term. Das +1 lässt darauf schließen, dass das immer größer als Null ist, aber man kann es auch mathematisch zeigen mit Hilfe der quadratischen Ergänzung. Das Problem ist doch folgendes:
Deine Ungleichung kann man umformen zu [mm] $x^2+x\ge-1$ [/mm] Das scheint plausibel, aber ob es jetzt wirklich so ist...
Okay, machen wir quad. Ergänzung mit [mm] $(1/2)^2$:
[/mm]
[mm] $x^2+x \ge [/mm] -1 [mm] \gdw x^2+x+\left(\frac{1}{2}\right)^2-\left(\frac{1}{2}\right)^2 \ge [/mm] -1 [mm] \gdw \left(x+\frac{1}{2}\right)^2 \ge -1+\frac{1}{4} \gdw \left(x+\frac{1}{2}\right)^2 \ge -\frac{3}{4}$
[/mm]
Und dass ein Quadrat von irgendeiner Zahl stets nicht negativ ist, ist offensichtilch. Daher gilt diese Ungleichung für alle Zahlen aus [mm] $\IR$.
[/mm]
LG
Kroni
>
> Gruß und danke!!
|
|
|
| |
|
| Status: |
(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 11:14 Di 05.08.2008 | | Autor: | kappen |
Danke für die Antwort.
[mm] \left(x+\frac{1}{2}\right)^2 \ge -\frac{3}{4} [/mm] war ja eben meine falsche Aussage. Dieses quadrat ist immer positiv, alles klar ;)
|
|
|
| |
|
| Status: |
(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 12:27 Di 05.08.2008 | | Autor: | Kroni |
Hi,
> Danke für die Antwort.
>
>
> [mm]\left(x+\frac{1}{2}\right)^2 \ge -\frac{3}{4}[/mm] war ja eben
> meine falsche Aussage.
Da steht doch eine Wahre Aussage, die für alle [mm] $x\in\IR$ [/mm] wahr ist?!!
Dieses quadrat ist immer positiv,
Das ist falsch. Das Quadrat einer Zahl ist immer nicht negativ. Setz mal für x [mm] $-\frac{1}{2}$ [/mm] ein. Was kommt dann raus? Und ist diese zahl Positiv?! ;)
> alles klar ;)
Beste Grüße,
Kroni
>
|
|
|
| |
|
| Status: |
(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 15:16 Di 05.08.2008 | | Autor: | kappen |
argl .. :)
Ja, die Wurzel wird reel nicht negativ, sorry ;)
Die Aussage ist wahr, stimmt, aber rein nach quadratischer ergänzung nicht so lösbar...aber ich muss weniger rechnen mehr gucken.
danke&gruß
|
|
|
| |
|
| Status: |
(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 06:12 Di 05.08.2008 | | Autor: | Somebody |
> Hallo kappen,
>
> das mit den 4 Fällen ist im Prinzip schon korrekt, aber
> bitte richtig hinschreiben und dann langsam durchrechnen:
>
> 1.) [mm]x^{2}[/mm] + 2x - 1 = x und [mm]x^{2}[/mm] + 2x -1 [mm]\ge[/mm] 0 und x [mm]\ge[/mm] 0
> oder
> 2.) [mm]x^{2}[/mm] + 2x - 1 = -x und [mm]x^{2}[/mm] + 2x -1 [mm]\ge[/mm] 0 und x < 0
> oder
> 3.) [mm]-(x^{2}[/mm] + 2x - 1) = x und [mm]x^{2}[/mm] + 2x -1 < 0 und x [mm]\ge 0[/mm]
> oder
> 4.) [mm]-(x^{2}[/mm] + 2x - 1) = -x und [mm]x^{2}[/mm] + 2x -1 < 0 und x < 0
>
>
> Damit sind erstmal die Beträge aufgelöst.
Es genügt vollauf, beim Lösen der Betragsgleichung [mm] $|x^2+2x-1|=|x|$ [/mm] zwei Fälle zu betrachten:
1. Fall (die Argumente der beiden Beträge sind gleich): [mm] $x^2+2x-1=x$
[/mm]
und
2. Fall (die Argumente der beiden Beträge sind entgegengesetzt gleich gross): [mm] $x^2+2x-1=-x$.
[/mm]
|
|
|
| |
|
| Status: |
(Frage) beantwortet | | Datum: | 12:47 Di 05.08.2008 | | Autor: | kappen |
Ergibt sich das Ergebnis des 1. Falls = [mm] x^2+2x-1=x [/mm] => [mm] x=\pm\frac{\wurzel{5}}{2}-\frac{1}{2} [/mm] nicht eher aus [mm] x\ge0 [/mm] sondern viel eher auch [mm] x\ge\wurzel{2}-1 [/mm] ??
[mm] x\ge\wurzel{2}-1 [/mm] ist doch noch größer als Null, "erhöht" sich nicht damit die Bedingung?!
Die positive Lösung [mm] x=\frac{\wurzel{5}}{2}-\frac{1}{2} [/mm] passt noch in das Intervall, bei den nächsten Fällen allerdings eben nicht mehr, daher bekomme ich keine 4 Lösungen?
Ganz konkret:
2. Fall, bzw [mm] x^2+2x-1=-x [/mm] und [mm] x\ge\pm\wurzel{2}-1 [/mm] und x<0
Das ist doch schon nicht möglich oder? Wie genau sieht das "Definitions" Intervall diesen Falles aus?
danke & gruß
|
|
|
| |
|
Hallo,
die Aufgabe stammt aus dem Papula, oder ?
Um mal ein wenig Licht ins Dunkel zu bringen:
Wie Somebody schon geschrieben hatte, reicht es zwei Fälle zu betrachten, nämlich:
1. Fall [mm] |x^{2}+2x-1|<0 [/mm] und [mm] |x^{2}+2x-1|=-(x^{2}+2x-1) [/mm] sowie $ |x| [mm] \ge [/mm] 0 $ und |x|=x
[mm] -(x^{2}+2x-1)=x
[/mm]
2. Fall [mm] |x^{2}+2x-1|>0 [/mm] und [mm] |x^{2}+2x-1|=(x^{2}+2x-1) [/mm] sowie $ |x| [mm] \ge [/mm] 0 $ und |x|=x
[mm] (x^{2}+2x-1)=x
[/mm]
Der erste Fall hat zwei Lösungen:
[mm] x_{1}=\bruch{-\wurzel{5}-1}{2}
[/mm]
[mm] x_{2}=\bruch{\wurzel{5}-1}{2}
[/mm]
Der zweite Fall hat ebenfalls zwei Lösungen:
[mm] x_{1}=\bruch{-\wurzel{13}-3}{2}
[/mm]
[mm] x_{2}=\bruch{\wurzel{13}-3}{2}
[/mm]
Du kannst dir das ganze auch mal grafisch veranschaulichen:
[Dateianhang nicht öffentlich]
Due siehst 4 Schnittpunkte 
Lg,
exeqter
Dateianhänge:
Anhang Nr. 1 (Typ: png) [nicht öffentlich]
|
|
|
| |
|
| Status: |
(Frage) beantwortet | | Datum: | 15:06 Di 05.08.2008 | | Autor: | kappen |
Danke für die Mühe.
Warum reichen 2 Fälle? Ist das immer so, wenn man einmal identische Vorzeichen und einmal gegensätzliche nimmt?
Gilt als bedingung |x|>0 oder x>0?
Schätze, es kann nur gelten |x|>0, weil sonst die Lösungen (bzw. die negative) nicht korrekt wären. War das Glück mit dem |x|? Was wäre wenn rechts ein Term stehen würde?
Noch ne Frage, existiert eine Lösungsmenge von folgenden Ergebnissen:
[mm] x\ge\pm\wurzel{2}-1 [/mm] und x<0 ??? Oder muss ein oder beide x als Betrag stehen, damit es klappt (und auch mit dem Ergebnis des 2. Falls [mm] [x^2+2x-1=-x] [/mm] in Einklang steht?
Und ja, die Aufgabe ist ausm Papula ;)
Finde übrigens, dass Ungleichungen + Betrags(un)gleichungen reichlich wenig erklärt wurden, nich?
Danke!
|
|
|
| |
|
| Status: |
(Antwort) fertig | | Datum: | 15:18 Mi 06.08.2008 | | Autor: | Kroni |
> Danke für die Mühe.
>
> Warum reichen 2 Fälle? Ist das immer so, wenn man einmal
> identische Vorzeichen und einmal gegensätzliche nimmt?
>
> Gilt als bedingung |x|>0 oder x>0?
> Schätze, es kann nur gelten |x|>0, weil sonst die Lösungen
> (bzw. die negative) nicht korrekt wären. War das Glück mit
> dem |x|? Was wäre wenn rechts ein Term stehen würde?
Hi, dann würde das ganze ein bisschen komplizierter, weil man dann gucken müsste, wann denn der rechte Term Null wird etc.
>
> Noch ne Frage, existiert eine Lösungsmenge von folgenden
> Ergebnissen:
>
> [mm]x\ge\pm\wurzel{2}-1[/mm] und x<0 ??? Oder muss ein oder beide x
> als Betrag stehen, damit es klappt (und auch mit dem
> Ergebnis des 2. Falls [mm][x^2+2x-1=-x][/mm] in Einklang steht?
Wenn du jetzt [mm] $x\ge-\sqrt{2}-1$ [/mm] hast, dann ist [mm] $-\sqrt{2}-1$ [/mm] ja schonmal negativ. Wenn du jetzt noch gleichzeitig forderst, dass $x<0$, dann bekommst du das Lösungsintervall [mm] $[-\sqrt{2}-1;0[$
[/mm]
Wenn du dir allerdings [mm] $x\ge\sqrt{2}-1$ [/mm] anguckst, und weist, dass [mm] $\sqrt{2}-1>0$ [/mm] gilt, dann wäre die Bedingung also grob ausgedrückt: $x>0$ und gleichzeitig $x<0$, und das erfüllt nunmal keine Zahl, also hast du dann die Leere Menge.
>
> Und ja, die Aufgabe ist ausm Papula ;)
> Finde übrigens, dass Ungleichungen +
> Betrags(un)gleichungen reichlich wenig erklärt wurden,
> nich?
>
> Danke!
LG
Kroni
|
|
|
| |
|
| Status: |
(Frage) beantwortet | | Datum: | 11:59 Di 12.08.2008 | | Autor: | kappen |
Ich bekomme es echt nicht hin. Ich weiß, dass es 4 Lösungen geben muss, das sagt mir die Musterlösung und auch der Graph.
Ich schreib mal alles hin. Besondere Probleme entstehen beim zusammenstellen der Bedingungs-Lösungsmengen und anschließendem "Abgleich" mit den Lösungsmengen.
Also, die Bedingungen:
[mm] |x^2+2x-1|=x^2+2x-1, [/mm] wenn [mm] x\ge\pm \wurzel{2}-1 [/mm] <- links positiv
[mm] |x^2+2x-1|=-x^2-2x+1, [/mm] wenn [mm] x\< \pm \wurzel{2}-1 [/mm] <- links negativ
|x|=x, wenn [mm] x\ge0 [/mm] <- rechts positiv
|x|=-x, wenn x<0 <- rechts negativ
So, die Fälle:
1. pos=pos
[mm] x^2+2x-1=x [/mm] ,wenn [mm] x\ge\pm \wurzel{2}-1 [/mm] und [mm] x\ge0
[/mm]
Ergibt:
[mm] x=\pm\bruch{\wurzel{5}-1}{2} [/mm] ,wenn [mm] x\ge0 [/mm] und [mm] x\ge\pm \wurzel{2}-1
[/mm]
da [mm] x\ge0 [/mm] und [mm] x\ge\pm \wurzel{2}-1, [/mm] gilt nur [mm] x=\bruch{\wurzel{5}-1}{2}
[/mm]
2. pos=neg
[mm] x^2+2x-1=-x [/mm] wenn [mm] x\ge\pm \wurzel{2}-1 [/mm] und x<0
so, [mm] x=\pm\bruch{\wurzel{13}-3}{2} [/mm] ,wenn x<0 und [mm] x\ge\pm \wurzel{2}-1 [/mm] ist widersprüchlich, ODER?
3. neg=pos
[mm] x=\pm\bruch{\wurzel{13}-3}{2} [/mm] wenn [mm] x\ge0 [/mm] und [mm] x<\pm \wurzel{2}-1 [/mm]
Ist doch auch ein Widerspruch, oder ?!?!
4. neg=neg
[mm] x=\pm\bruch{\wurzel{5}-1}{2} [/mm] wenn [mm] x<\pm \wurzel{2}-1 [/mm] und x<0, hier gilt nur x<- [mm] \wurzel{2}-1 [/mm] ?
Wenn ich das aber nun mit meinen Ergebnissen der eigentlichen Rechnung vergleiche, so komme ich nicht auf 4 Ergebnisse, insbesondere "dank" der leeren Mengen?!
Danke für die Hilfe und fürs Lesen :)
|
|
|
| |
|
> Ich bekomme es echt nicht hin. Ich weiß, dass es 4 Lösungen
> geben muss, das sagt mir die Musterlösung und auch der
> Graph.
>
> Ich schreib mal alles hin. Besondere Probleme entstehen
> beim zusammenstellen der Bedingungs-Lösungsmengen und
> anschließendem "Abgleich" mit den Lösungsmengen.
>
> Also, die Bedingungen:
>
> [mm]|x^2+2x-1|=x^2+2x-1,[/mm] wenn [mm]x\ge\pm \wurzel{2}-1[/mm] <- links
> positiv
Schreibe diese Bedingung richtig hin: [mm] $x^2+2x-1\geq [/mm] 0$ gilt genau dann, wenn [mm] $x\leq -1-\sqrt{2}$ [/mm] oder [mm] $-1+\sqrt{2}\leq [/mm] x$.
>
> [mm]|x^2+2x-1|=-x^2-2x+1,[/mm] wenn [mm]x\< \pm \wurzel{2}-1[/mm] <- links
> negativ
Auch diese Schreibweise ist missverständlich: [mm] $x^2+2x-1<0$ [/mm] gilt genau dann, wenn [mm] $-1-\sqrt{2}
>
> |x|=x, wenn [mm]x\ge0[/mm] <- rechts positiv
>
> |x|=-x, wenn x<0 <- rechts negativ
>
>
> So, die Fälle:
>
> 1. pos=pos
>
> [mm]x^2+2x-1=x[/mm] ,wenn [mm]x\ge\pm \wurzel{2}-1[/mm] und [mm]x\ge0[/mm]
>
> Ergibt:
> [mm]x=\pm\bruch{\wurzel{5}-1}{2}[/mm]
![[notok]](/images/smileys/notok.gif "[notok]") Die beiden Lösungen der in diesem Fall resultierenden quadratischen Gleichungen sind [mm] $x_{1,2}=\frac{-1\pm \sqrt{5}}{2}$, [/mm] was nicht, ich wiederhole, nicht das selbe ist, wie [mm] $x_{1,2}=\pm\frac{-1+\sqrt{5}}{2}$.
[/mm]
> ,wenn [mm]x\ge0[/mm] und [mm]x\ge\pm \wurzel{2}-1[/mm]
>
> da [mm]x\ge0[/mm] und [mm]x\ge\pm \wurzel{2}-1,[/mm] gilt nur
> [mm]x=\bruch{\wurzel{5}-1}{2}[/mm]
![[ok]](/images/smileys/ok.gif "[ok]")
>
>
> 2. pos=neg
>
> [mm]x^2+2x-1=-x[/mm] wenn [mm]x\ge\pm \wurzel{2}-1[/mm] und x<0
>
> so, [mm]x=\pm\bruch{\wurzel{13}-3}{2}[/mm]
Hier hast Du [mm] $\pm$ [/mm] auf fahrlässige Weise am falschen Ort hingepflastert. Die Lösungen der resultierenden quadratischen Gleichung lauten [mm] $x_{1,2}=\frac{-3\pm \sqrt{3}}{2}$, [/mm] was nicht das selbe ist.
> ,wenn x<0 und [mm]x\ge\pm \wurzel{2}-1[/mm]
> ist widersprüchlich, ODER?
Deine Schreibweise [mm] $x\ge\pm \wurzel{2}-1$ [/mm] für die Bedingung, dass [mm] $x^2+2x-1\geq [/mm] 0$ ist, ist unsinnig. Du kannst dies nicht so simpel schreiben. Es ist [mm] $x\leq -\sqrt{2}-1$ [/mm] oder [mm] $x\geq \sqrt{2}-1$.
[/mm]
Wegen [mm] $\frac{-\sqrt{13}-3}{2}<-\sqrt{2}-1$ [/mm] ist dieser Wert, [mm] $\frac{-\sqrt{13}-3}{2}$, [/mm] Lösung der Gleichung unter den in diesem Fall geltenden Bedingungen.
>
> 3. neg=pos
> [mm]x=\pm\bruch{\wurzel{13}-3}{2}[/mm]
Wieder Müll. Pflastere doch bitte [mm] $\pm$ [/mm] nicht einfach ganz vorne hin: es ist nicht das selbe! Die allgemeine Lösung der resultierenden Gleichung ist doch [mm] $x_{1,2}=\frac{-3\pm\sqrt{13}}{2}$
[/mm]
> wenn [mm]x\ge0[/mm] und [mm]x<\pm \wurzel{2}-1[/mm]
> Ist doch auch ein Widerspruch, oder ?!?!
Nein. Wieder diese Empfehlung: leg' Dich nicht selbst auf's Ohr indem Du solchen Unsinn wie [mm] $x<\pm \wurzel{2}-1$ [/mm] hinschreibst. Die Bedingung für [mm] $x^2+2x-1<0$ [/mm] ist [mm] $-\sqrt{2}-1
>
> 4. neg=neg
>
> [mm]x=\pm\bruch{\wurzel{5}-1}{2}[/mm]
Hier hast Du wieder mal [mm] $\pm$ [/mm] auf fahrlässige Weise am falschen Ort hingepflastert. Die Lösungen der resultierenden quadratischen Gleichung lauten [mm] $x_{1,2}=\frac{-1\pm \sqrt{5}}{2}$, [/mm] was nicht das selbe ist.
> wenn [mm]x<\pm \wurzel{2}-1[/mm] und
> x<0, hier gilt nur x<- [mm]\wurzel{2}-1[/mm] ?
Ich verstehe nicht, was Du hier schreibst. Wie gesagt, die Bedingung [mm] $x^2+2x-1<0$ [/mm] ist äquivalent mit [mm] $-\sqrt{2}-1
>
> Wenn ich das aber nun mit meinen Ergebnissen der
> eigentlichen Rechnung vergleiche, so komme ich nicht auf 4
> Ergebnisse, insbesondere "dank" der leeren Mengen?!
Ich hattte schon vor längerer Zeit darauf hingewiesen, dass die Betragsgleichung [mm] $|x^2+2x-1|=|x|$ [/mm] durch Unterscheidung von nur zwei Fällen gelöst werden kann. Denn es gilt ja $|a|=|b| [mm] \Leftrightarrow [/mm] (a=b [mm] \text{ oder } [/mm] a=-b)$. Also hat man 1. Fall: [mm] $x^2+2x-1=x$ [/mm] oder [mm] $x^2+2x-1=-x$ [/mm] zu lösen. Ergibt je 2 Lösungen für beide Fälle und insgesamt 4 Lösungen für die ursprüngliche Betragsgleichung.
|
|
|
| |
|
| Status: |
(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 13:47 Di 12.08.2008 | | Autor: | kappen |
Uff uiui, ich weiß, dass das nicht das selbe ist : / Ich hab's hier richtig stehen, jedoch nicht korrekt aufgeschrieben.
Danke dass du alles durchgegangen bist, und vor allem danke, dass du mir die Fälle so aufgeschlüsselt hast. Das 'oder' ist wichtig :)
Tut mir leid wenn du dich aufregen musstest, umso netter, dass du noch was vernünftiges hingeschrieben hast.
Ich weiß, dass du schon geschrieben hattest, dass es mit 2 Unterscheidungen möglich ist, da war nur keine Erklärung bei und ich selbst konnte es mir dummerweise nicht erklären.
So, danke & schöne Grüße,
Kappen
|
|
|
|
