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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 17:55 So 04.11.2007 | | Autor: | ONeill |
| Aufgabe | Bestimme alle Lösungen für [mm] x\inR [/mm] der Gleichung
1.) x+|x-1|=1
[mm] 2.)|x-1|+|x|-|x+1|=\bruch{1-4x}{2} [/mm] |
Hallo!
Bei den beiden oberen Gleichungen bin ich mir nicht sicher, wie das zu Rechnen ist.
Also zu 1.)
[mm] |x-1|=\left\{\begin{matrix}
x-1, x-1\ge0 <=> x\ge1, \\
(-x-1)=1-x, 1-x<0 <=> x>0
\end{matrix}\right.
[/mm]
[mm] (i)x\ge1 [/mm] x+x-1=1
2x=2
x=1
Die Lösung müsste schon mal richtig sein. Denn 1 ist ja größer gleich 1.
(ii) x>0 x+1-x=1
1=1
Stimmt auch, bringt aber keine weitere Lösung.
Ist damit L={1} ?
Wie gehe ich denn bei der zweiten Aufgabe vor? Ich habe drei Komponenten mit nem Betrag. Mach ich dann erst ne Fallunterscheidung für |x-1| und dann beachte ich die anderen Beträge erstmal nicht und mache danach dann weitere Fallunterscheidungen oder muss man diese auch noch miteinander kombinieren?
Danke schon mal!
Lg ONeill
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> Bestimme alle Lösungen für [mm]x\inR[/mm] der Gleichung
> 1.) x+|x-1|=1
> [mm]2.)|x-1|+|x|-|x+1|=\bruch{1-4x}{2}[/mm]
> Hallo!
> Bei den beiden oberen Gleichungen bin ich mir nicht
> sicher, wie das zu Rechnen ist.
> Also zu 1.)
> [mm]|x-1|=\left\{\begin{matrix}
x-1, x-1\ge0 <=> x\ge1, \\
(-x-1)=1-x, 1-x<0 <=> \red{x>0}
\end{matrix}\right.[/mm]
>
![[notok]](/images/smileys/notok.gif "[notok]") Die rot markierte Bedingung $x>0$ ist falsch. Denn es muss sich doch gerade um die Negation der ersten Bedingung [mm] $x\geq [/mm] 1$ handeln. Also sollte die zweite Bedingung $x< 1$ sein.
> [mm](i)x\ge1[/mm] x+x-1=1
> 2x=2
> x=1
> Die Lösung müsste schon mal richtig sein. Denn 1 ist ja
> größer gleich 1.
![[ok]](/images/smileys/ok.gif "[ok]")
>
> (ii) x>0 x+1-x=1
Die Bedingung $x>0$ ist hier, wie erwähnt, falsch. Sie müsste $x< 1$ lauten.
> 1=1
> Stimmt auch, bringt aber keine weitere Lösung.
> Ist damit L={1} ?
Unter der Bedingung $x<1$ lautet die Gleichung, nach Ersetzen des Betrags $|x-1|$ durch $-(x-1)$: $x-(x-1)=1$. Diese Gleichung gillt für alle $x$ (genauer, für alle $x$, die die Bedingung $x<1$ erfüllen).
Die Lösungsmenge der Betragsgleichung ist also ein gutes Stück grösser, als Du gedacht hattest.
>
> Wie gehe ich denn bei der zweiten Aufgabe vor? Ich habe
> drei Komponenten mit nem Betrag. Mach ich dann erst ne
> Fallunterscheidung für |x-1| und dann beachte ich die
> anderen Beträge erstmal nicht und mache danach dann weitere
> Fallunterscheidungen oder muss man diese auch noch
> miteinander kombinieren?
Na, manche implizieren einander: so folgt etwa aus der Bedingung [mm] $x\geq [/mm] 0$, dass auch [mm] $x+1\geq [/mm] 0$ ist. Andererseits folgt aus der Bedingung $x<0$, dass auch $x-1<0$ ist.
Aber, ja, Du wirst wohl einige Fallunterscheidungen diskutieren müssen: im allgemeinen Fall musst Du die Fallunterscheidungen "baumförmig" ineinander verschachteln. Also etwa so:
1. Fall [mm] $x-1\geq [/mm] 0$
1.1. Fall [mm] $x\geq [/mm] 0$
1.1.1. Fall [mm] $x+1\geq [/mm] 0$
[mm] \ldots
[/mm]
1.1.2 Fall $x+1<0$
[mm] \ldots
[/mm]
1.2. Fall $x<0$
1.2.1. Fall [mm] $x+1\geq [/mm] 0$
[mm] \ldots
[/mm]
1.2.2. Fall $x+1<0$
[mm] \ldots
[/mm]
2. Fall: $x-1<0$
2.1. Fall [mm] $x\geq [/mm] 0$
2.1.1. Fall [mm] $x+1\geq [/mm] 0$
[mm] \ldots
[/mm]
2.1.2 Fall $x+1<0$
[mm] \ldots
[/mm]
2.2. Fall $x<0$
2.2.1. Fall [mm] $x+1\geq [/mm] 0$
[mm] \ldots
[/mm]
2.2.2. Fall $x+1<0$
[mm] \ldots
[/mm]
[mm] \ldots [/mm] steht für eine an dieser Stelle (unter den verschachtelten Bedingungen) ohne Betragszeichen formulierbare Gleichung. Dies scheint ein wenig viel Aufwand. Weil manche der Bedingungen die Gültigkeit anderer Bedingungen implizieren, kann man manche dieser Fälle zusammenfassen.
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