Betragsfunktion Differenzieren < Differentiation < Funktionen < eindimensional < reell < Analysis < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
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| Aufgabe | Differenzieren Sie
[mm] f(x)=x*\left| x^3 \right| [/mm] |
Hallo und guten Abend.
Nur eine kurze (Nach)frage bezüglich der Aufgabe, ob ich gedanklich einen Fehler mache.
Ich habe die Funktion fallweise unterschieden:
[mm] f(x)=\begin{cases} x^4, & \mbox{für } {x \ge 0} \\ -x^4, & \mbox{für } {x \le 0} \end{cases}
[/mm]
Und würde dahingehen differenzieren:
[mm] f'(x)=\begin{cases} 4*x^3, & \mbox{für } {x \ge 0} \\ -4*x^3, & \mbox{für } {x \le 0} \end{cases}
[/mm]
Ist das ok so oder ist die Funktion für x=0 gar nicht differenzierbar und ich müsste das ganze Schreiben als:
[mm] f'(x)=\begin{cases} 4*x^3, & \mbox{für } {x > 0} \\ -4*x^3, & \mbox{für } {x < 0} \end{cases}
[/mm]
Danke für Hilfe. :)
Ich habe diese Frage in keinem Forum auf anderen Internetseiten gestellt.
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Hallo artischocke,
> Differenzieren Sie
>
> [mm]f(x)=x*\left| x^3 \right|[/mm]
> Hallo und guten Abend.
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> Nur eine kurze (Nach)frage bezüglich der Aufgabe, ob ich
> gedanklich einen Fehler mache.
>
> Ich habe die Funktion fallweise unterschieden:
>
> [mm]f(x)=\begin{cases} x^4, & \mbox{für } {x \ge 0} \\ -x^4, & \mbox{für } {x \le 0} \end{cases}[/mm]
Die Betragssfunktion ist doch so definiert:
[mm]\vmat{x}=\begin{cases} x, & \mbox{für } {x \ge 0} \\ -x, & \mbox{für } {x \red{<} 0} \end{cases}[/mm]
>
> Und würde dahingehen differenzieren:
>
> [mm]f'(x)=\begin{cases} 4*x^3, & \mbox{für } {x \ge 0} \\ -4*x^3, & \mbox{für } {x \le 0} \end{cases}[/mm]
>
> Ist das ok so oder ist die Funktion für x=0 gar nicht
> differenzierbar und ich müsste das ganze Schreiben als:
>
>
> [mm]f'(x)=\begin{cases} 4*x^3, & \mbox{für } {x > 0} \\ -4*x^3, & \mbox{für } {x < 0} \end{cases}[/mm]
Ok. ![[ok]](/images/smileys/ok.gif "[ok]")
>
> Danke für Hilfe. :)
>
>
> Ich habe diese Frage in keinem Forum auf anderen
> Internetseiten gestellt.
Gruss
MathePower
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| Aufgabe | Differenzieren Sie
$ [mm] f(x)=x\cdot{}\left| x^3 \right| [/mm] $ |
Hallo MathePower und danke für die schnelle Antwort,
wenn ich dich richtig verstehe:
[mm] f(x)=x\cdot{}\left| x^3 \right| [/mm]
[mm] f(x)=\begin{cases} x^4, & \mbox{für } {x \ge 0} \\ -x^4, & \mbox{für } {x < 0} \end{cases} [/mm]
[mm] f'(x)=\begin{cases} 4\cdot{}x^3, & \mbox{für } {x \ge 0} \\ -4\cdot{}x^3, & \mbox{für } {x < 0} \end{cases} [/mm]
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| Status: |
(Antwort) fertig  | | Datum: | 23:08 Sa 17.10.2009 | | Autor: | felixf |
Hallo!
> Differenzieren Sie
>
> [mm]f(x)=x\cdot{}\left| x^3 \right|[/mm]
> Hallo MathePower und danke
> für die schnelle Antwort,
> wenn ich dich richtig verstehe:
>
>
> [mm]f(x)=x\cdot{}\left| x^3 \right|[/mm]
>
>
> [mm]f(x)=\begin{cases} x^4, & \mbox{für } {x \ge 0} \\ -x^4, & \mbox{für } {x < 0} \end{cases}[/mm]
>
> [mm]f'(x)=\begin{cases} 4\cdot{}x^3, & \mbox{für } {x \ge 0} \\ -4\cdot{}x^3, & \mbox{für } {x < 0} \end{cases}[/mm]
Fuer $x < 0$ und $x > 0$ ist das ok. Fuer $x = 0$ musst du allerdings noch zeigen, dass die Funktion $f$ dort wirklich differenzierbar ist mit Ableitung $-4 [mm] \cdot 0^3 [/mm] = 0$. Dazu schau dir doch mal den Differenzenquotienten an. Da kuerzt sich was weg und zurueck bleibt etwas sehr schoenes :)
LG Felix
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| Aufgabe | Differenzieren Sie
$ [mm] f(x)=x\cdot{}\left| x^3 \right| [/mm] $ |
> Fuer [mm]x < 0[/mm] und [mm]x > 0[/mm] ist das ok. Fuer [mm]x = 0[/mm] musst du
> allerdings noch zeigen, dass die Funktion [mm]f[/mm] dort wirklich
> differenzierbar ist mit Ableitung [mm]-4 \cdot 0^3 = 0[/mm].
$ [mm] f(x)=\begin{cases} x^4, & \mbox{für } {x \ge 0} \\ -x^4, & \mbox{für } {x < 0} \end{cases} [/mm] $
für [mm] x=0 [/mm] betrachte ich also [mm] f(x)=x^4 [/mm]
Differenzenquotient:
[mm]
m = \bruch{\Delta y}{\Delta x} = \bruch{f(x+h)-f(x)}{h} = \bruch{(x+h)^4 - x^4}{h}
m = \bruch{\Delta y}{\Delta x} = \bruch{x^4 + 4*x^3*h + 6*x^2*h^2 + 4*x*h^3 + h^4}{h} = 4*x^3 + 6*x^2*h + 4*x*h^2 + h^3}
[/mm]
dahingehend dann:
[mm]
\limes_{h\rightarrow 0} 4*x^3 + 6*x^2*h + 4*x*h^2 + h^3 = 4*x^3
[/mm]
[mm]
f'(x) = 4*x^3, \mbox{für } x=0
[/mm]
[mm]
f'(0) = 4*0^3 = 0
[/mm]
Also ist die Funktion für x=0 differenzierbar.
Hab ich das so richtig verstanden?
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Hallo artischocke,
noch nicht ganz.
Wenn Deine Funktion so hieße:
[mm] f(x)=\begin{cases} x^4, & \mbox{für } {x \ge 0} \\ e^{x}-1, & \mbox{für } {x < 0} \end{cases}
[/mm]
dann hättest Du immer noch das gleiche Ergebnis. Kann das wirklich sein? Meine Funktion ist zwar auch stetig, aber in x=0 nicht differenzierbar. Deine schon. Wieso?
Tipp: Du brauchst zwei Grenzwerte. Einen hast Du schon.
Grüße
reverend
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| Status: |
(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 03:56 So 18.10.2009 | | Autor: | felixf |
Hallo reverend,
> Tipp: Du brauchst zwei Grenzwerte. Einen hast Du schon.
Hier reicht auch einer, wenn man denn die richtige Funktion einsetzt, also $f(x) = x [mm] |x^3|$. [/mm] (Im Punkt $x = 0$ geht das wunderbar.) Wenn man allerdings nur $x [mm] x^3$ [/mm] bzw. $-x [mm] x^3$ [/mm] nimmt, muss man schon beide Seiten betrachten.
LG Felix
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| Status: |
(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 10:56 So 18.10.2009 | | Autor: | reverend |
Hallo Felix,
stimmt natürlich. Nur war die Aufteilung der Funktion ja schon geschehen, und der Differenzenquotient enthielt keine Betragsstriche mehr. 
Selbst wenn man mit nur einem Grenzwert arbeitet, lohnt sich immer noch zu bedenken, ob der auch wirklich links- und rechtsseitig gleich ist. Hier lauert immer eine Falle beim Nachweis der Differenzierbarkeit.
Liebe Grüße
reverend
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Hallo ihr beiden und guten Morgen.
> Nur war die Aufteilung der Funktion ja
> schon geschehen, und der Differenzenquotient enthielt keine
> Betragsstriche mehr.
>
> Selbst wenn man mit nur einem Grenzwert arbeitet, lohnt
> sich immer noch zu bedenken, ob der auch wirklich links-
> und rechtsseitig gleich ist. Hier lauert immer eine Falle
> beim Nachweis der Differenzierbarkeit.
Verstehe ich euch richtig, dass ich beim Bilden des Differenzenquotienten entweder mit der Ursprungsfunktion (inkl. Betragsstriche) arbeiten muss, oder aber betrachten muss, was passiert wenn sich h der "Null" von [mm]\infty[/mm] und von [mm] - \infty [/mm] annähert?
Und dahingehend sollte jeweils der selbe Grenzwert auftauchen.
Soweit verstanden?
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Hallo artischocke,
ja, vollkommen richtig.
Von Unendlich aus musst Du übrigens nicht loslaufen, Du willst ja nur wissen, was bei der Null passiert. Da reicht ein kurzer Anlauf, sagen wir, das letzte Millionstel. 
lg
rev
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