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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 20:20 Mi 13.04.2005 | | Autor: | Vannie |
Hallo an alle,
Wir haben gerade differenzialquotient und in der regel hab ich damit keine probleme, außer mit der betragsfunktion. Bei
f(x) = |x| versteh ich das noch, da muss man ja f(x) betragsfrei schreiben, einmal für x und einmal für - x, oder?
Also so:
(Leider find ich nicht, wie man das mit so einer geschweiften klammer schreiben soll, deswegen hoffe ich, reicht es erstmal so.)
1. f(x) = x für alle x > 0
und
2. f(x) = -x für alle x < 0
Dann muss man ja den linksseitigen grenzwert und den rechtsseitigen grenzwert bilden. Beim linksseitigen kommt dann -1 raus und beim rechtsseitigen 1. Im Prinzip ist mir das hier eigentlich klar, was ich nur nicht verstehe ist, dass man hier plötzlich praktisch 2 Funktionen braucht, je eine (f(x) = x) für die rechtsseitige annäherung und eine (f(x) = - x) für die linksseitige annäherung. Denn wenn man sonst ableitet und prüft, ob eine funktion differenzierbar ist, schreibt man ja einfach unter den limes x --> [mm] x_0^- [/mm] oder x --> [mm] x_0^+. [/mm] Mir ist das einfach nicht so klar, weshalb man da plötzlich für den linksseitigen für f(x) etwas anderes einsetzt, als für den rechtsseitigen.
Meine Frage ist allerdings, ob es eine allgemeine regel für betragsfunktionen gibt. Zu Beginn muss man diese ja betragsfrei schreiben, aber wenn ich keine Skizze habe, woher weiß ich dann, was ich beim differenzialquotient für f(x) einsetzen muss, wenn ich den linksseitigen bzw. den rechtsseitigen grenzwert berechnen will?
Ich hoffe, ihr habt verstanden, wie ich das meine, find im Moment nicht wirklich die richtigen worte ;).
Deswegen würde ich jetzt einfach mal ein beispiel aufschreiben
Zum Biespiel soll man prüfen, ob folgende Funktion f differenzierbar ist:
f(x) = |x² -8|
Zuerst muss man die Funktion betragsfrei schreiben.
Und schon da habe ich meine probleme.
Ich schreib die funktion einmal so:
f(x) = x² - 8
und einmal f(x) = -x² -8
Wie sieht dann hier der nächste schritt aus? Muss ich da für x dann zahlen einsetzen, wenn ja, welche? Muss da vielleicht bei f(x) = x² -8 eine zahl eingesetzt werden, dass f(x) >0 bleibt?
Geht das überhaupt ohne Skizze? Mit Skizze würde ich es vielleicht noch hinbekommen, aber es muss doch sicher auch ohne gehen?
Ich hoffe, irh könnt mir helfen, da ich das gerne verstehen würde. Will auch garkeine Lösung, nur eine kleine hilfe, sodass ich es dann selbst verstehen kann. Vielen Dank schonmal für die hilfe!! Viele Grüße
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Hallo Vannie,
die Betragsfunktion ist so definiert, das deren Betrag größer oder gleich null ist.
> Zum Biespiel soll man prüfen, ob folgende Funktion f
> differenzierbar ist:
> f(x) = |x² -8|
>
>
> Zuerst muss man die Funktion betragsfrei schreiben.
>
>
> Und schon da habe ich meine probleme.
> Ich schreib die funktion einmal so:
>
> f(x) = x² - 8
> und einmal f(x) = -x² -8
>
Das stimmt nicht ganz:
Für [mm]x^{2} \; \geqslant \;8[/mm] gilt [mm]f_{+} \left( x \right)\; = \;x^{2} \; - \;8[/mm]
Für [mm]x^{2} \; \leqslant \;8[/mm] gilt [mm]f_{-} \left( x \right)\; = \; - x^{2} \; + \;8[/mm]
> Wie sieht dann hier der nächste schritt aus? Muss ich da
> für x dann zahlen einsetzen, wenn ja, welche? Muss da
> vielleicht bei f(x) = x² -8 eine zahl eingesetzt werden,
> dass f(x) >0 bleibt?
>
> Geht das überhaupt ohne Skizze? Mit Skizze würde ich es
> vielleicht noch hinbekommen, aber es muss doch sicher auch
> ohne gehen?
>
Klar geht das auch ohne Skizze.
Bei Betragsfunktionen ist immer die Stelle an der der die positive und die negative Funktion den gleichen Wert annehmen. In der Regel wird das die Stelle sein, an der der Betrag den Wert 0 annimmt. An dieser Stelle is zu untersuchen, ob die Betragsfunktion differenzierbar ist.
Die kritische Stelle ist hier wenn die Funktionen den Wert 0 annehmen.
Konkret sind die folgenden Grenzwerte zu betrachten:
[mm]\mathop {\lim }\limits_{h \to 0} \frac{{f_{ -} \left( {2\sqrt 2 \; - \;h} \right)\; - \;f_{ -} \left( {2\sqrt 2 } \right)}} {h}[/mm]
und
[mm]\mathop {\lim }\limits_{h \to 0} \frac{{f_ {+} \left( {2\sqrt 2 \; + \;h} \right)\; - \;f_{ +} \left( {2\sqrt 2 } \right)}} {h}[/mm]
Das selbe muss auch für die zweite Nullstelle gemacht werden.
Gruß
MathePower
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Hi, Vannie,
> was ich nur nicht verstehe ist,
> dass man hier plötzlich praktisch 2 Funktionen braucht, je
> eine (f(x) = x) für die rechtsseitige annäherung und eine
> (f(x) = - x) für die linksseitige annäherung. Denn wenn man
> sonst ableitet und prüft, ob eine funktion differenzierbar
> ist, schreibt man ja einfach unter den limes x --> [mm]x_0^-[/mm]
> oder x --> [mm]x_0^+.[/mm] Mir ist das einfach nicht so klar,
> weshalb man da plötzlich für den linksseitigen für f(x)
> etwas anderes einsetzt, als für den rechtsseitigen.
Du hast nicht "2 Funktionen" sondern 2 verschiedene Funktionsterme für ein- und dieselbe Funktion. Du musst Dir zunächst mal klar machen, dass es eben nicht für jede Funktion einen einheitlichen Funktionsterm gibt.
Warum aber diese Komplikation?
Nun: Mathematik soll ja kein Selbstzweck, sondern auch mal "im täglichen Leben" verwendbar sein. Und da sind nun eben Funktionen, die nur "aus Teilen zusammengesetzt" werden können, die Regel.
Beispiele: Portofunktion, Steuertariffunktionen, Wachstum der Weltbevölkerung, usw.
Und daher sollst Du schon so früh als möglich auch in der Schule solche Funktionen kennenlernen! Die Betragsfunktion ist da nur ein Beispiel von vielen!
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> Meine Frage ist allerdings, ob es eine allgemeine regel für
> betragsfunktionen gibt. Zu Beginn muss man diese ja
> betragsfrei schreiben, aber wenn ich keine Skizze habe,
> woher weiß ich dann, was ich beim differenzialquotient für
> f(x) einsetzen muss, wenn ich den linksseitigen bzw. den
> rechtsseitigen grenzwert berechnen will?
Naja: Du musst die Skizze natürlich in die "Funktionstermschreibweise" überführen!
Dann aber weißt Du:
Wenn ein Funktionsterm für x < 1 oder auch x [mm] \le [/mm] 1 gilt, dann verwendest Du ihn für die Annäherung von links.
Wenn ein Funktionsterm aber für x > 1 oder für x [mm] \ge [/mm] 1 gilt, verwendest Du ihn für die Annäherung von rechts!
> Zum Biespiel soll man prüfen, ob folgende Funktion f
> differenzierbar ist:
> f(x) = |x² -8|
>
> Zuerst muss man die Funktion betragsfrei schreiben.
>
>
> Und schon da habe ich meine probleme.
> Ich schreib die funktion einmal so:
>
> f(x) = x² - 8
> und einmal f(x) = -x² -8
Der 2. Term ist falsch. Richtig wäre: f(x) = [mm] -(x^{2} [/mm] - 8) = [mm] -x^{2} [/mm] + 8
Aber das hat Dir MathePower ja schon erklärt!
>
> Wie sieht dann hier der nächste schritt aus? Muss ich da
> für x dann zahlen einsetzen, wenn ja, welche? Muss da
> vielleicht bei f(x) = x² -8 eine zahl eingesetzt werden,
> dass f(x) >0 bleibt?
Da weiß ich jetzt nicht, wie Du das meinst! [mm] |x^{2} [/mm] - 8 | ist halt [mm] \ge [/mm] 0 (Vergiss' die Null nicht!)
Für bestimmte x ist selbst schon positiv, dann darf man die Betragsstriche einfach weglassen, für andere x ist [mm] x^{2} [/mm] - 8 negativ, dann muss man ein Minus davorsetzen, damit das Ergebnis positiv wird.
(Wenn a = -7, also negativ, dann ist - a = -(-7) = +7, also: positiv)
> Geht das überhaupt ohne Skizze? Mit Skizze würde ich es
> vielleicht noch hinbekommen, aber es muss doch sicher auch
> ohne gehen?
Wenn Du's mit Skizze kannst (was nicht so leicht ist!), reicht das völlig. In der Oberstufe löst man quadratische Ungleichungen praktisch ausschließlich über Skizzen, weil's einfach schneller geht. Wenn Du's aber unbedingt rechnerisch machen willst, musst Du in der Lage sein, eine quadratische Ungleich zu lösen (Fallunterscheidung!).
So hat z.B. die von MathePower angegebene Ungleichung [mm] x^{2} [/mm] < 8
die Lösung: [mm] -\wurzel{8} [/mm] < x < [mm] +\wurzel{8}.
[/mm]
Für x [mm] \ge [/mm] 8 gib' bitte die Lösung selbst an!
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 14:47 Do 14.04.2005 | | Autor: | Vannie |
Hallo,
erstmal vielen dank fürs erklären und die hinweise.
Es wurde gesagt, ich muss die zweite nullstelle noch berechnen. woher weiß ich, wieviele nullstellen es gibt? Ich hab jetzt mal gerechnet, allerdings bezweifle ich, dass es stimmt. habe die lösungswege eingescannt, aber ich finde hier leider nichts zum hochladen. Ich habe ja praktisch nur eine nullstelle berechnet, oder?
bei der rechtsseitigen annäherung komme ich auf 2* [mm] \wurzel{8} [/mm] und bei der linksseitigen annäherung auf -2* [mm] \wurzel{8} [/mm] , was mir aber sehr unwahrscheinlich scheint ?
Vielen dank schonmal im vorraus.
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 14:54 Do 14.04.2005 | | Autor: | Julius |
Hallo Vannie!
Deine Ergebnisse sind korrrekt. ![[applaus]](/images/smileys/applaus.gif "[applaus]")
Beachte bitte, dass man statt [mm] $2\sqrt{8}$ [/mm] auch [mm] $4\sqrt{2}$ [/mm] schreiben kann.
Was schließt du jetzt daraus?
Ist die Funktion an der Stelle [mm] $2\sqrt{2}$ [/mm] differenzierbar oder nicht?
Viele Grüße
Julius
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(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 17:31 Do 14.04.2005 | | Autor: | Vannie |
Also da die ergebnisse ja nicht gleich sind, würde ich sagen, dass die funktion an dieser stelle nicht ableitbar ist, oder?
Danke fürs korrigieren :)).
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