Betragsfunk. (Teifunktionen) < Klassen 8-10 < Schule < Mathe < Vorhilfe
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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 15:17 Do 04.01.2007 | | Autor: | andihit |
| Aufgabe | f: x [mm] \mapsto [/mm] |x+4| + |2x-2| + |x+1| im Bereich [-5, ]
(| sind Beträge) |
Hi,
Wir lernen gerade die Linearen Betragsfunktionen, und ich verstehe die Teilfunktionen nicht ganz.
Dieses Beispiel haben wir in der Schule ausgerechnet, aber ich habe noch Fragen dazu:
Wir haben einen Zahlenstrahl gezeichnet:
[Dateianhang nicht öffentlich]
Die 1te Teilfunktion (x [mm] \ge [/mm] 1) ist mir noch klar, da wird bei den Beträgen nichts geändert.
Die 2te Teilfunktion (-1 [mm] \le [/mm] x [mm] \le [/mm] 1) ist mir nicht mehr ganz klar, also das ist der erste Zwischenraum im Zahlenstrahl von rechts. Aber wieso wird der mittlere Betrag in der Rechnung umgedreht (bzw * -1 gerechnet)?
Die 3te Teilfunktionen (-4 [mm] \le [/mm] x [mm] \le [/mm] -1) verstehe ich ebenfalls nicht, nur dass das der zweite Zwischenraum von rechts ist, bzw der erste Zwischenraum von links. Wieso Der 2te und der 3te Betrag umgedreht wird, weiß ich nicht.
Die 4te Teilfunktion (x [mm] \le [/mm] -4) verstehe ich auch nicht ganz, wieso da alle Beträge umgedreht werden müssen.
Vielen Dank für Antworten  .
Dateianhänge:
Anhang Nr. 1 (Typ: jpg) [nicht öffentlich]
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Hallo!!!
Also im Prinzip macht die Betragsfunktion, die du hier als | | gekennzeichnet hast, aus einer negativen Zahl a eine positive Zahl!!
Also |-3|=3 |3|=3
nun hast du 3 verschiedene Betragsfunktionen, die addiert werden müsse. Da musst du eben aufpassen in welchem Bereich du dich gerade befindest. Dein Ziel ist es die Betragsstriche wegzulassen und ganz gewöhnlich zu addieren!!Das kannst du aber nicht ohne weiteres.
Wenn du eine Betragsfunktion hast, kannst du mit Angabe des Definitionsbereiches, die Betragsstriche weglassen.
z.B. |x+1|= x+1, für x [mm] \ge [/mm] -1
|x+1|=-(x+1), für x [mm] \le [/mm] -1
denn für den ersten Bereich ist x+1 immer größer als 0!!Da macht die Betragsfunktion nichts. Im zweiten Bereich ist x+1 immer kleiner als o => du musst ein - davor setzten, da -(-)=+!!
z.b) x=3 => |3+1|=4 = 3+1
x=-4 => |-4+1|=|-3|=+3 = -(-4+1)=--3=+3
Also deswegen musst du bei dieser Aufgabe den Definitionsbereich einschränken und dann die Betragsstriche ordnungsgemäß weglassen.
Wenn du nun z.B bei deiner Aufgabe im Bereich x [mm] \le [/mm] -4 bist, dann:
|x+4|= -(x+4)
|2x-2|=-(2x-2)
|x+1|=-(x+1) da in diesem Bereich die Funktionen alle negativ sind und du ein - davorschreiben musst, damit du den Betrag auflösen kannst!!
Bem: Die Unterteilung der Bereiche wählt man immer nach den Nullstellen der Funktionen: Bei dir: -4,1,-1 !!
Alles klar? mfg dani
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 16:47 Do 04.01.2007 | | Autor: | andihit |
Hi,
Danke für deine Antwort, dani.
Die Unterteilung hat unser Lehrer so gemacht, ich hab die nur abgeschrieben  .
Das meiste ist mir jetzt klar. Aber eine Frage habe ich noch:
Also der erste Betrag, |x+4], bezieht sich auf den ersten Strich im Zahlenstrahl, -4.
Der 2te Betrag, |2x+2|, auf den letzten Strich im Zahlenstrahl, 1.
Der 3te Betrag, |x+1|, bezieht sich auf den mittleren Strich im Zahlenstrahl, -1.
Dann fängt man von rechts an, und dreht immer den Betrag, auf den sich der aktuelle Strich im Zahlenstrahl bezieht, um.
Also beim 1ten Zwischenraum von rechts (-1 bis 1) wird geschaut, auf welchen Betrag sich die obere Grenze (1) bezieht - auf den 2ten Betrag, darum wird dieser umgedreht.
Beim 2ten Zwischenraum (-4 bis -1) wird genau wie beim 1ten Zwischenraum schonmal der 2te Betrag umgedreht, und zusätzlich der letzte Betrag, weil sich die Obergrenze des 2ten Zwischenraums auf den letzten Betrag bezieht.
Ist dies richtig?
Falls das Unklar ist, was ich geschrieben habe, bitte sagen . Vllt denke ich auch etwas kompliziert .
MfG, Andreas
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Hallo andihit,
> Hi,
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> Danke für deine Antwort, dani.
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> Die Unterteilung hat unser Lehrer so gemacht, ich hab die
> nur abgeschrieben .
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> Das meiste ist mir jetzt klar. Aber eine Frage habe ich
> noch:
>
> Also der erste Betrag, |x+4], bezieht sich auf den ersten
> Strich im Zahlenstrahl, -4.
> Der 2te Betrag, |2x+2|, auf den letzten Strich im
> Zahlenstrahl, 1.
> Der 3te Betrag, |x+1|, bezieht sich auf den mittleren
> Strich im Zahlenstrahl, -1.
>
> Dann fängt man von rechts an, und dreht immer den Betrag,
> auf den sich der aktuelle Strich im Zahlenstrahl bezieht,
> um.
> Also beim 1ten Zwischenraum von rechts (-1 bis 1) wird
> geschaut, auf welchen Betrag sich die obere Grenze (1)
> bezieht - auf den 2ten Betrag, darum wird dieser
> umgedreht.
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> Beim 2ten Zwischenraum (-4 bis -1) wird genau wie beim 1ten
> Zwischenraum schonmal der 2te Betrag umgedreht, und
> zusätzlich der letzte Betrag, weil sich die Obergrenze des
> 2ten Zwischenraums auf den letzten Betrag bezieht.
>
>
> Ist dies richtig?
Schaun wir nochmal etwas systematischer:
$f: x [mm] \mapsto [/mm] |x+4| + |2x-2| + |x+1|$
Die Funktion f setzt sich additiv aus drei Teilfunktionen zusammen:
[mm] $|x+4|=\begin{cases} -(x+4) & \mbox{, für }x<-4\\x+4 &\mbox{, für }x\ge-4\end{cases}$
[/mm]
[mm] $|x+1|=\begin{cases} -(x+1) & \mbox{, für }x<-1\\x+1 &\mbox{, für }x\ge-1\end{cases}$
[/mm]
[mm] $|2x-2|=\begin{cases} -(2x-2) & \mbox{, für }x<1\\2x-2 &\mbox{, für }x\ge1\end{cases}$
[/mm]
Wenn nun
x<-4 gilt, müssen bei allen drei Beträgen die Vorzeichen rumgedreht werden:
f(x)=-(x+4)-(2x-2)-(x+1)= ...
[mm] $-4\le [/mm] x <-1$ gilt, werden nur bei den beiden letzten Beträgen die Minuszeichen gebraucht:
f(x)=(x+4)-(2x-2)-(x+1)=...
u.s.w.
die rechten Seiten kannst du dann noch zusammenfassen, um zum fertigen Term zu gelangen.
Jetzt klar(er)?
Gruß informix
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(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 16:32 Fr 05.01.2007 | | Autor: | andihit |
Vielen Dank, informix!
Durch die Bilder verstehe ich es jetzt.
Einfach jedes Bild durchgehen und schauen, was zutrifft.
Wenn ich mir unsicher bin, werde ich das aufzeichnen .
Der Lehrer wird sich wundern, von wo ich diese Schreibweise her habe *g*.
MfG, Andreas
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