Betrag von sin und cos < Interpol.+Approx. < Numerik < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 21:56 Di 29.04.2008 | | Autor: | ronja33 |
| Aufgabe | Gegeben sei die Fixpunktgleichung x = phi(x) mit
phi(x) = [mm] \vektor{x_{1}x_{2} \\ \bruch{1}{2}((sinx_{1})^{2} + sinx_{2})}
[/mm]
Zeigen Sie dass die Fixpunktgleichung in D:= [mm] \{x=(x_{1}, x_{2})^{T} : |x_{1}| \le \bruch{1}{4}, |x_{2}| \le \bruch{1}{4}\} [/mm] genau einen Fixpunkt besitzt und dass die zugehörige Picard-Iteration für jeden beliebigen Startwert [mm] x^{0} [/mm] aus D gegen diesen Fixpunkt konvergiert.
Hinweis: Es gilt |sinx| [mm] \le [/mm] |x|
Ich habe diese Frage in keinem Forum auf anderen Internetseiten gestellt. |
Ich hab das mit dem Banachschen Fixpunktsatz probiert und hab noch ne kleine Frage zur Abschätzung:
|sinx| [mm] \le [/mm] |x|
das nehm ich so hin, aber was kann man denn für |cosx| im Vergleich zu |sinx| bzw. |x| sagen??
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Hi,
> Gegeben sei die Fixpunktgleichung x = phi(x) mit
> phi(x) = [mm]\vektor{x_{1}x_{2} \\ \bruch{1}{2}((sinx_{1})^{2} + sinx_{2})}[/mm]
>
> Zeigen Sie dass die Fixpunktgleichung in D:= [mm]\{x=(x_{1}, x_{2})^{T} : |x_{1}| \le \bruch{1}{4}, |x_{2}| \le \bruch{1}{4}\}[/mm]
> genau einen Fixpunkt besitzt und dass die zugehörige
> Picard-Iteration für jeden beliebigen Startwert [mm]x^{0}[/mm] aus D
> gegen diesen Fixpunkt konvergiert.
>
> Hinweis: Es gilt |sinx| [mm]\le[/mm] |x|
>
> Ich habe diese Frage in keinem Forum auf anderen
> Internetseiten gestellt.
> Ich hab das mit dem Banachschen Fixpunktsatz probiert und
> hab noch ne kleine Frage zur Abschätzung:
> |sinx| [mm]\le[/mm] |x|
> das nehm ich so hin, aber was kann man denn für |cosx| im
> Vergleich zu |sinx| bzw. |x| sagen??
Solche abschaetzungen folgen fuer kleine |x| aus den reihendarstellungen fuer sinus und kosinus (siehe zb. ![[]](/images/popup.gif) hier. man hat also zb. auch die abschaetzung [mm] $\cos x\le [/mm] 1$ (klar) und [mm] $\cos x\ge 1-\frac{x^2}{2}$.
[/mm]
gruss
matthias
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