Betrag einer Folge < Folgen+Grenzwerte < Analysis < Oberstufe < Schule < Mathe < Vorhilfe
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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 19:45 Sa 05.05.2007 | | Autor: | Caroline |
Hallo Leute ich brauch mal wieder eure Hilfe..., ich hoffe ihr könnt mir bei folgender Aufgabe helfen, ich bin offen für jeden Ansatz / Weg...
[mm] a_{n} [/mm] ist eine Folge von den natürlichen Zahlen zu den reellen Zahlen (was ja logisch ist...) und der Grenzwert der Folge [mm] a_{n} [/mm] ist a
a) Beweisen Sie mit obiger Vorgabe, dass dann [mm] \limes_{n\rightarrow\infty}|a_{n}|=|a|
[/mm]
b) Geben Sie die Menge der [mm] a\in\IR, [/mm] für die ebenfalls die Umkehrung gilt an.
Also bei a) hab ich ja schon mal das, was ich eigentlich zeigen muss, also Sei [mm] \varepsilon>0
[/mm]
[mm] ||a_{n}|-|a||<\varepsilon [/mm] für alle [mm] n\geN
[/mm]
Naja ist ja klar, aber mir fehlen Betragsrechenregeln, aus denen ich von der Konvergenz von [mm] a_{n} [/mm] obige Formel ableiten kann... Bitte helft mir weiter, ich hab keinen Einfall mehr Bitteeeee
Danke, ciao
Caroline
PS: Ich habe diese Frage in keinem Forum auf anderen Internetseiten gestellt.
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Hallo Caroline,
benutze die Dreiecksungleichung [mm] $||a|-|b||\le [/mm] |a-b|$
Sei [mm] $\varepsilon>0$
[/mm]
Da [mm] $\lim\limits_{n\rightarrow\infty}a_n=a$ [/mm] ist, gilt:
[mm] $\exists N\in\IN\forall n>N:|a_n-a|<\varepsilon$
[/mm]
Für selbiges $N$ gilt also für alle $n>N$:
[mm] $||a_n|-|a||\le|a_n-a|<\varepsilon$
[/mm]
Also [mm] $|a_n|\longrightarrow [/mm] |a|$ für [mm] $n\rightarrow\infty$
[/mm]
Gruß
schachuzipus
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Falls dir die Dreiecksungleichung zu gespenstisch vorkommt, kannst du auch mit einer Fallunterscheidung arbeiten, nämlich mit a>0, a=0 und a<0.
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(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 13:35 So 06.05.2007 | | Autor: | Caroline |
Vielen Dank, ich kenne die Dreiecksungleichung, aber ich habe nicht gewusst, dass diese auch gilt, wenn nochmals betragsstriche "außenrum" sind... Braucht man dazu einen extra beweis? oder ist das klar (also für mich ist es jetzt klar, aber wenn ich das so aufschreibe kann das jeder verstehen ohne zusätzlichen beweis?) Vielen Dank nochmals 
Caroline
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 08:27 Mo 07.05.2007 | | Autor: | Caroline |
Hallo, also nochmals vielen Dank, ich habe mir jetzt nochmal "deine" Dreiecksungleichung ($ [mm] ||a|-|b||\le [/mm] |a-b| $) angesehen, und ich kenne zwar die Dreiecksungleichung, aber die sieht doch so aus: $ [mm] |a+b|\le [/mm] |a|+|b| $
Wie kommt man nun von "meiner" Gleichung zu der obigen??? Ich brauche unbedingt Hilfe...
mfg
Caroline
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Hallo Caroline,
diese "erweiterte" Dreiecksungleichung wurde hier im Forum schon einige Male bewiesen 
u.a. hier: https://matheraum.de/read?i=217394
Benutze auch die Suche, es gibt noch ein paar andere threads dazu
LG
schachuzipus
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