Betrag & Argument von Komplexe < Komplexe Zahlen < Analysis < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 18:55 Di 16.11.2010 | | Autor: | Vertax |
| Aufgabe | | Bestimmen Sie für reelle positive R,L,C und [mm] \omega [/mm] den Betrag und das Argument von [mm](R+\bruch{1}{c*\omega*j})^{-1}[/mm] und von [mm]\bruch{1}{C*\omega*j}+R+L*\omega*j[/mm] (j ist die imaginäre Einheit mit [mm] j^2 [/mm] = -1) |
Hi Leute ich bin momentan total am Verzweifeln, hoffe das mir einer von euch helfen kann. Ich finde gerad gar keinen Ansatz. Ich weis zwar das der [mm][mm] |z|=\wurzel{R^2+(L\omega)^2} [/mm] ist aber wie ich was damit Anfange habe ich keine Ahnung
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> Bestimmen Sie für reelle positive R,L,C und [mm]\omega[/mm] den
> Betrag und das Argument von [mm](R+\bruch{1}{c*\omega*j})^{-1}[/mm]
> und von [mm]\bruch{1}{C*\omega*j}+R+L*\omega*j[/mm] (j ist die
> imaginäre Einheit mit [mm]j^2[/mm] = -1)
> Hi Leute ich bin momentan total am Verzweifeln, hoffe das
> mir einer von euch helfen kann. Ich finde gerad gar keinen
> Ansatz. Ich weis zwar das der [mm][mm]|z|=\wurzel{R^2+(L\omega)^2}[/mm] ist aber wie ich was damit Anfange habe ich keine Ahnung
fangen wir mal mit dem letzteren an:
$ [mm] \bruch{1}{C\cdot{}\omega\cdot{}j}+R+L\cdot{}\omega\cdot{}j [/mm] $
nun den ersten bruch mit j erweitern:
[mm] =\frac{j}{-C*\omega}+R+j*L*\omega
[/mm]
nun nach real- und imaginärteil sortieren:
[mm] R+j*(\omega*L-\frac{1}{C*\omega})
[/mm]
wie betrag und argument definiert sind, sollte klar sein.
zur ersten aufgabe: bruch erstmal doppelbruchfrei machen (vorher den kehrwert bilden)
gruß tee
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 19:37 Di 16.11.2010 | | Autor: | Vertax |
Hi und danke erstmal das bringt mich schon ein Stück weiter.
Ok jetzt erst mal zum ersten Teil:
[mm] (R+\bruch{1}{c*\omega*j})^{-1} [/mm] = [mm] \bruch{1}{R}+j*\omega*c
[/mm]
damit hab ich ja auch nach real und imaginärteil sortier, kann ich dann muss ich ja nichts weiter mit anstellen also mit j erweiter oder so
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> Hi und danke erstmal das bringt mich schon ein Stück
> weiter.
>
> Ok jetzt erst mal zum ersten Teil:
> [mm](R+\bruch{1}{c*\omega*j})^{-1}[/mm] = [mm]\bruch{1}{R}+j*\omega*c[/mm]
>
> damit hab ich ja auch nach real und imaginärteil sortier,
> kann ich dann muss ich ja nichts weiter mit anstellen also
> mit j erweiter oder so
die rechenregel die du angewendet hast, muss allerdings noch erfunden werden!
es gilt:
[mm] (R+\bruch{1}{c*\omega*j})^{-1}=\frac{1}{R+\bruch{1}{c*\omega*j}}
[/mm]
diesen bruch nun (nach hoffentlich gültigen regeln) zunächst doppelbruchfrei machen
gruß tee
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 20:51 Di 16.11.2010 | | Autor: | Vertax |
Hi nochmal, habe ich das so richtig gemacht?
[mm] z=\bruch{1}{R+\bruch{1}{c*\omega*j}} [/mm] = [mm] \bruch{\bruch{1}{1}}{\bruch{R}{1}+\bruch{1}{c*\omega*j}}
[/mm]
Jetzt die Nebenrechnung:
[mm] \bruch{R}{1}+\bruch{1}{c*\omega*j} [/mm] = [mm] \bruch{R*c*\omega*j+1}{c*\omega*j}
[/mm]
Das ganze Einsetzen:
z= [mm] \bruch{\bruch{1}{1}}{\bruch{R*c*\omega*j+1}{c*\omega*j}}
[/mm]
Jetzt mit dem Kehrbruch multiplizieren:
[mm] z=\bruch{1*c*\omega*j}{1*R*C*\omega*j+1}
[/mm]
Ist das soweit korrekt? Und nun muss ich wieder den imaginärteil trennen oder?
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> Hi nochmal, habe ich das so richtig gemacht?
>
da es hier um eine admittanz geht (leitwert eines komplexen widerstandes), sollte hier Y statt Z stehen:
> [mm]z=\bruch{1}{R+\bruch{1}{c*\omega*j}}[/mm] =
> [mm]\bruch{\bruch{1}{1}}{\bruch{R}{1}+\bruch{1}{c*\omega*j}}[/mm]
>
> Jetzt die Nebenrechnung:
>
> [mm]\bruch{R}{1}+\bruch{1}{c*\omega*j}[/mm] =
> [mm]\bruch{R*c*\omega*j+1}{c*\omega*j}[/mm]
>
> Das ganze Einsetzen:
>
> z=
> [mm]\bruch{\bruch{1}{1}}{\bruch{R*c*\omega*j+1}{c*\omega*j}}[/mm]
>
> Jetzt mit dem Kehrbruch multiplizieren:
> [mm]z=\bruch{1*c*\omega*j}{1*R*C*\omega*j+1}[/mm]Eingabefehler: "{" und "}" müssen immer paarweise auftreten, es wurde aber ein Teil ohne Entsprechung gefunden (siehe rote Markierung)
die ganze nebenrechnung ist ansich umsonst, da man direkt durch erweitern von zähler und nenner mit j\omega*C auf die zwischenlösung kommt
nun muss man den doppelbruchfreien bruch mit \frac{1-j\omega*C*R}{1-j\omega*C*R}} erweitern
im nenner dann das binom beacfhten, dann real und imaginärteil trennen
evtl lohnt sich das hier zu lesen:
http://de.wikipedia.org/wiki/Komplexe_Zahl#Division
gruß tee
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> Ist das soweit korrekt? Und nun muss ich wieder den
> imaginärteil trennen oder?
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 21:18 Di 16.11.2010 | | Autor: | Vertax |
Ok der Wikipedia-Link hat mir schonmal sehr weiter geholfen.
Ich habe jetzt [mm] Z=\bruch{(c*\omega*j)(1-R*C*\omega*j)}{(1+R*C*\omega*j)(1-R*C*\omega*j)}
[/mm]
Nur wie trenne ich jetzt Reel vom Imaginär Teil?
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> Ok der Wikipedia-Link hat mir schonmal sehr weiter
> geholfen.
>
> Ich habe jetzt
> [mm]Z=\bruch{(c*\omega*j)(1-R*C*\omega*j)}{(1+R*C*\omega*j)(1-R*C*\omega*j)}[/mm]
>
> Nur wie trenne ich jetzt Reel vom Imaginär Teil?
zähler und nenner (nenner nach dem 3. binom) ausmultiplizieren
danach dann trennen (der nenner sollte nun rein reell sein)
gruß tee
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 21:35 Di 16.11.2010 | | Autor: | Vertax |
Ok also das habe ich nun raus:
[mm] z=\bruch{-c^2*-r*\omega^2+c*j*\omega}{-c^2*-r^2*\omega^2+1} [/mm] reel teil getrennt vom imaginär teil ergibt dann:
z= [mm] \bruch{-c^2*-r*\omega^2}{-c^2*-r^2*\omega^2+1}+\bruch{c*\omega}{-c^2*-r^2*\omega^2+1}*j
[/mm]
Ist das soweit korrekt?
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> Ok also das habe ich nun raus:
>
> [mm]z=\bruch{-c^2*-r*\omega^2+c*j*\omega}{-c^2*-r^2*\omega^2+1}[/mm]
> reel teil getrennt vom imaginär teil ergibt dann:
>
> z=
> [mm]\bruch{-c^2*-r*\omega^2}{-c^2*-r^2*\omega^2+1}+\bruch{c*\omega}{-c^2*-r^2*\omega^2+1}*j[/mm]
>
(-1)*(-1)=1
das kann man noch schön kürzen.. bei beiden brüchen im zähler fehlt jeweils jedoch noch einmal der faktor R
gruß tee
> Ist das soweit korrekt?
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 21:48 Di 16.11.2010 | | Autor: | Vertax |
> bei beiden brüchen im
> zähler fehlt jeweils jedoch noch einmal der faktor R
>
> gruß tee
Das Versteh ich jetzt nicht wieso noch einmal der Faktor R hinzu muss
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> > bei beiden brüchen im
> > zähler fehlt jeweils jedoch noch einmal der faktor R
> >
> > gruß tee
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> Das Versteh ich jetzt nicht wieso noch einmal der Faktor R
> hinzu muss
>
oh, mein fehler, hatte mich verguckt. es ist richtig
gruß tee
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(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 21:54 Di 16.11.2010 | | Autor: | Vertax |
Korrekt!!!, vielen lieben dank das du dir die Zeit für mich genommen hast.
Wenn doch mein Prof etwas so verständlich erklären könnte.....
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