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| Aufgabe | Bestimmen Sie Betrag und Argument der komplexen Zahlen
[mm] (\bruch{1+i}{1-i} )^{100} [/mm] und [mm] (1+i)^{n} [/mm] + [mm] (1-i)^{n} [/mm] , n [mm] \in \IN [/mm] |
hallo,
Ich habe diese Frage in keinem Forum auf anderen Internetseiten gestellt.
könnt ihr mir vielleicht weiterhelfen...
erst muss ich doch die form z= a+bi erreichen...
meine ansätze zum Betrag von [mm] (\bruch{1+i}{1-i})^{100}
[/mm]
[mm] (\bruch{(1+i)(1+i)}{(1-i)(1+i)} )^{100}
[/mm]
= [mm] (\bruch{2i}{2})^{100}
[/mm]
= [mm] (1i)^{100} [/mm] a=0, b=1
r= [mm] \wurzel{1^{2}}
[/mm]
r=1
z = r · (cos [mm] \gamma [/mm] + i sin [mm] \gamma) [/mm] mit [mm] cos\gamma \bruch{a}{r} [/mm] und [mm] sin\gamma<\bruch{b}{r}
[/mm]
nach einsetzen erhalte ich
z=1
zu [mm] (1+i)^{n} [/mm] + [mm] (1-i)^{n}
[/mm]
(1 + ni + [mm] i^{n})+(1 [/mm] - ni [mm] +i^{n}
[/mm]
= [mm] 2+2i^{n}
[/mm]
r= [mm] \wurzel{2²+2²}
[/mm]
r= [mm] \wurzel{8}
[/mm]
kann ich die Exponenten 100 und n außer acht lassen wenn ich den Betrag errechne?
bin ich überhaupt auf dem richtigen weg?
und wie geh ich am besten weiter vor?
danke für jede hilfe
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Hallo El.Mariachi,
> Bestimmen Sie Betrag und Argument der komplexen Zahlen
> [mm](\bruch{1+i}{1-i} )^{100}[/mm] und [mm](1+i)^{n}[/mm] + [mm](1-i)^{n}[/mm] , n
> [mm]\in \IN[/mm]
> hallo,
> Ich habe diese Frage in keinem Forum auf anderen
> Internetseiten gestellt.
>
> könnt ihr mir vielleicht weiterhelfen...
> erst muss ich doch die form z= a+bi erreichen...
> meine ansätze zum Betrag von [mm](\bruch{1+i}{1-i})^{100}[/mm]
>
> [mm](\bruch{(1+i)(1+i)}{(1-i)(1+i)} )^{100}[/mm]
>
> = [mm](\bruch{2i}{2})^{100}[/mm]
>
> = [mm](1i)^{100}[/mm] a=0, b=1
Ähm, [mm] $i^100=(i^4)^25=...$:-) [/mm] Hier die Formel von Moivre anwenden, wäre mit Kanonen auf Spatzen schießen.
>
>
> zu [mm](1+i)^{n}[/mm] + [mm](1-i)^{n}[/mm]
>
> (1 + ni + [mm]i^{n})+(1[/mm] - ni [mm]+i^{n}[/mm]
Hm, wie kommst Du darauf ![[kopfkratz]](/images/smileys/kopfkratz.gif "[kopfkratz]") ? Hier würde ich erstmal $1 [mm] \pm [/mm] i$ in die Form [mm] $r(\cos{\gamma} +i\sin{\gamma}$ [/mm] bringen (getrennt!).
>
> = [mm]2+2i^{n}[/mm]
>
>
> r= [mm]\wurzel{2²+2²}[/mm]
>
> r= [mm]\wurzel{8}[/mm]
Leider nicht.
>
> kann ich die Exponenten 100 und n außer acht lassen wenn
> ich den Betrag errechne?
Schau Dir nochmal die Moivre-Formel an  ; der Betrag muß natürlich potenziert werden.
Mfg
zahlenspieler
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hm so ganz steige ich jetzt nicht durch...
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