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| Aufgabe | Bestimmen Sie alle reellen Zahlen x rechnerisch und graphisch, für die gilt:
a) | x | + | x −1| ≤ | x +1| , b) || x + 2 | − | x || <1. |
Die Aufgabe kann man durch Fallunterscheidung lösen.
a) Fall 1: x<-1 b) Fall 1: x<-2
Fall 2: -1 [mm] \le [/mm] x <0 Fall 2: -2 [mm] \le [/mm] x < 0
Fall 3: 0 [mm] \le [/mm] x<1 Fall 3: x [mm] \ge [/mm] 0
Fall 4: x [mm] \ge [/mm] 1
Ist die Unterteilung der Fälle richtig?
Kann mir jemand einen Ansatz geben, wie ich weiter rechnen muss?
Vielen Dank im Voraus!
Ich habe diese Frage in keinem Forum auf anderen Internetseiten gestellt.
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 23:48 Mo 25.10.2010 | | Autor: | M.Rex |
Hallo
Deine Fallunterscheidungen sind korrekt, jetzt nutze die Definition der Betragsfunktion, setze also die entsprechenden "negativen Teile" der Betragsfunktion in Minusklammern, und löse die Teilfälle dann nach x auf.
Du bekommst dann für jeden Fall eine Lösungsmenge, die GEsamtlösungsmenge ist dann die Vereinigung aller Teillösungsmengen.
Marius
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Habe dies nun für a) |x|+|x-1| [mm] \le [/mm] |x+1| versucht.
Fall 1: x<-1 x<0 --> |x|=-x
-x-x-1+x-1 [mm] \le [/mm] 0 [mm] \gdw [/mm] -x-2 [mm] \le [/mm] 0 [mm] \Rightarrow [/mm] x=-2
[mm] \Rightarrow [/mm] L1=[-2,-1]
Fall 2: -1 [mm] \le [/mm] x<0 x<0 --> |x|=-x
-x-x-1+x-1 [mm] \le [/mm] 0 [mm] \gdw [/mm] -x-2 [mm] \le [/mm] 0 [mm] \Rightarrow [/mm] x=-2
[mm] \Rightarrow L2=\emptyset [/mm] , da -2 nicht im Intervall
Fall 3: [mm] 0\le [/mm] x<1 x>0 --> |x|=x
[mm] x+x-1-x-1\le0 \gdw [/mm] x-2 [mm] \le [/mm] 0 [mm] \Rightarrow [/mm] x=2
[mm] \Rightarrow L3=\emptyset [/mm] , da 2 nicht im Intervall
Fall 4: x [mm] \ge [/mm] 1 x>0 --> |x|=x
x+x-1-x-1 [mm] \le [/mm] 0 [mm] \gdw [/mm] x-2 [mm] \le [/mm] 0 [mm] \Rightarrow [/mm] x=2
[mm] \Rightarrow [/mm] L4=[1,2]
[mm] \Rightarrow [/mm] L= L1 [mm] \cup [/mm] L4= [-2,2]
Ist das so richtig?
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(Antwort) fertig | | Datum: | 01:10 Di 26.10.2010 | | Autor: | Loddar |
Hallo fireangel,
![[willkommenmr]](/images/smileys/willkommenmr.png "[willkommenmr]") !!
Das stimmt nicht. Ich erhalte als Gesamtlösungsmenge ganz am Ende:
[mm]\IL \ = \ [0;+2][/mm]
Betrachten wir mal Deinen ersten Fall. Dort sollten wir auch die anderen Beträge entsprechend aufschreiben:
[mm]x \ < \ -1 < \ 0[/mm]
[mm]\Rightarrow[/mm]
[mm]|x| \ = \ -x[/mm]
[mm]|x-1| \ = \ -(x-1) \ = \ -x+1[/mm]
[mm]|x+1| \ = \ -(x+1) \ = \ -x-1[/mm]
Damit wird:
[mm]|x|+|x-1|-|x+1| \ \le \ 0[/mm]
[mm](-x)+(-x+1)-(-x-1) \ \le \ 0[/mm]
Was ergibt sich nun?
Gruß
Loddar
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Guten Morgen!
Danke für eure bisherigen Bemühungen.
Hab nun alles nochmal überarbeitet.
Fall 1: x=0 [mm] \Rightarrow [/mm] L1= [mm] \emptyset [/mm] , da 0 nicht kleiner -1
Fall 2: x=0 [mm] \Rightarrow [/mm] L2= [mm] \emptyset [/mm] , da 0 nicht im Intervall
Fall 3: x=2 [mm] \Rightarrow [/mm] L3= [0,1] (2 nicht im Intervall, aber Intervall selbst löst die Ungleichung)
Fall 4: x=2 [mm] \Rightarrow [/mm] L4= [1,2]
L= L1 [mm] \cup [/mm] L4= [0,2]
Stimmt es nun?
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(Antwort) fertig | | Datum: | 10:09 Di 26.10.2010 | | Autor: | Loddar |
Hallo fireangel!
Grob stimmt es nun. Jedoch musst Du etwas mit den Feinheiten aufpassen.
Wie kommst Du hier jeweils auf Lösungen mit $x \ [mm] \red{=} [/mm] \ 0$ ?
Dort muss auch jeweils ein Ungleichheitszeichen stehen.
Zudem musst du auch etwas mit den Grenzen der Intervalle aufpassen, so dass z.B. die 3. Teillösungsmenge lauten muss: [mm] $\IL_3 [/mm] \ = \ [mm] [0;1\red{[}$ [/mm] (sprich: die 1 gehört hier nicht mit zu).
Gruß
Loddar
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Das x=0 und x=2 sind jeweils die Nullstellen der Gleichung. Die muss ich doch zur Berechnung verwenden. Oder?
Also muss ich die Lösungsmenge bestimmen, indem ich für L3=[0,1[ und L4=[1,2] verwende? und somit L=[0,2] ist?
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(Antwort) fertig | | Datum: | 21:45 Di 26.10.2010 | | Autor: | Loddar |
Hallo fireangel!
> Das x=0 und x=2 sind jeweils die Nullstellen der Gleichung.
> Die muss ich doch zur Berechnung verwenden.
Das schon. aber ohne Ungleichheitszeichen kennst Du doch nicht das entsprechende (Teil-)Lösungsintervall.
> Also muss ich die Lösungsmenge bestimmen, indem ich für
> L3=[0,1[ und L4=[1,2] verwende? und somit L=[0,2] ist?
![[ok]](/images/smileys/ok.gif "[ok]")
Gruß
Loddar
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Also a) habe ich jetzt gelöst.
Aber nun habe ich Schwierigkeiten bei b) ||x+2|-|x||<1.
Mein bisheriger Lösungsweg:
Fall 1: x< -2 (x<0 -> |x|=-x)
||x+2|-|x||-1<0
|(-x-2)-(-x)|-1<0 [mm] \gdw [/mm] |-2|-1<0 [mm] \gdw [/mm] 1<0
[mm] \Rightarrow [/mm] L1= [mm] \emptyset
[/mm]
Fall 2: -2 [mm] \le [/mm] x <0 (x<0 ->|x|=-x)
siehe Fall 1
[mm] \Rightarrow [/mm] L2= [mm] \emptyset
[/mm]
Fall 3: x [mm] \ge [/mm] 0 (x>0 -> |x|=x)
|(x+2)-(x)|-1<0 [mm] \gdw [/mm] |2|-1<0 [mm] \gdw [/mm] 1<0
[mm] \Rightarrow [/mm] L3= [mm] \emptyset
[/mm]
Das überall leere Menge herauskommt kann doch gar nicht sein, oder?
Wo liegt mein Fehler?
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(Antwort) fertig | | Datum: | 20:16 Di 26.10.2010 | | Autor: | abakus |
> Also a) habe ich jetzt gelöst.
>
> Aber nun habe ich Schwierigkeiten bei b) ||x+2|-|x||<1.
>
> Mein bisheriger Lösungsweg:
>
> Fall 1: x< -2 (x<0 -> |x|=-x)
>
> ||x+2|-|x||-1<0
> |(-x-2)-(-x)|-1<0 [mm]\gdw[/mm] |-2|-1<0 [mm]\gdw[/mm] 1<0
> [mm]\Rightarrow[/mm] L1= [mm]\emptyset[/mm]
>
> Fall 2: -2 [mm]\le[/mm] x <0 (x<0 ->|x|=-x)
>
> siehe Fall 1
> [mm]\Rightarrow[/mm] L2= [mm]\emptyset[/mm]
>
> Fall 3: x [mm]\ge[/mm] 0 (x>0 -> |x|=x)
>
> |(x+2)-(x)|-1<0 [mm]\gdw[/mm] |2|-1<0 [mm]\gdw[/mm] 1<0
> [mm]\Rightarrow[/mm] L3= [mm]\emptyset[/mm]
>
>
> Das überall leere Menge herauskommt kann doch gar nicht
> sein, oder?
> Wo liegt mein Fehler?
Hallo,
an der Stelle x=-1 gilt sogar |x+2|=|x| und somit ||x+2|-|x||=0.
Also müsste auch in unmittelbarer Umgebung von -1 der Betrag dieser Differenz recht klein (also kleiner als 1) sein.
Schau mal da genauer hin.
Es könnte auch hilfreich sein, VOR der Fehlersuche die Aufgabe grafisch zu lösen.
Gruß Abakus
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Also graphisch hab ich das schon gelöst und für L=[-1,5;0,5] heraus.
aber wie löse ich dies rechnerisch?
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(Antwort) fertig | | Datum: | 20:59 Di 26.10.2010 | | Autor: | abakus |
> Also graphisch hab ich das schon gelöst und für
> L=[-1,5;0,5] heraus.
Hast du eine Probe für 0,5 gemacht?
>
> aber wie löse ich dies rechnerisch?
Du hast in deinem Fall 2 lapidar geschrieben "siehe Fall 1".
Und du weißt mittlerweile, dass an der Stelle -1 deine Überlegung nicht stimmt. Die Zahl -1 liegt mitten in deinem Bereich "Fall 2".
Preisfrage: Wo solltest du auf Fehlersuche gehen?
Gruß Abakus
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Die Fehler liegen sicher beim Fall 2.
Aber mein Problem ist grad, dass ich nicht nachvollziehen kann, wie du auf x=-1 kommst.
Kannst du mir bitte einen Hinweis geben?
Und das siehe Fall 1 sollte bedeuten, dass es die gleichen Rechenschritte sind.
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Hallo fireangel,
> Die Fehler liegen sicher beim Fall 2.
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> Aber mein Problem ist grad, dass ich nicht nachvollziehen
> kann, wie du auf x=-1 kommst.
> Kannst du mir bitte einen Hinweis geben?
Der Fall 2 [mm]\left(-2 \le x \le 0\right)[/mm] liefert:
[mm]\vmat{\vmat{x+2}-\vmat{x}}=\vmat{x+2-\left(x\right)}=\vmat{2*x+2} < 1[/mm]
>
> Und das siehe Fall 1 sollte bedeuten, dass es die gleichen
> Rechenschritte sind.
Gruss
MathePower
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kann grad nicht ganz folgen.
Wie kommst du von |x+2-(x)|=|2*x+2|?
Denn ist nicht |x+2-(x)|=|2|? Denn das x kürzt sich doch weg, oder?
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Hallo fireangel,
> kann grad nicht ganz folgen.
>
> Wie kommst du von |x+2-(x)|=|2*x+2|?
Natürlich muß das heißen, da [mm]-2 \le x < 0[/mm]:
[mm]|x+2-(\blue{-}x)|=|2*x+2|[/mm]
>
> Denn ist nicht |x+2-(x)|=|2|? Denn das x kürzt sich doch
> weg, oder?
Gruss
MathePower
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also hast du für |x|=-x gesetzt.
Warum muss dann aber |x+2| nicht =-x-2 sein?
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Hallo fireangel,
> also hast du für |x|=-x gesetzt.
>
> Warum muss dann aber |x+2| nicht =-x-2 sein?
Weil für [mm]-2 \le x \le 0[/mm] der Ausdruck x+2 größer oder gleich Null ist.
Gruss
MathePower
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ok, habe dies versucht
|x+2-(-x)|=2x+2
2x+2<1 -> 2x+2-1<0 -> 2x+1<0 -> x<-0,5
L2= [-2;-0,5]
wie bekomme ich dann aber die Lösung -1,5 noch?
denn laut der graphischen Lösung ist L=[-1,5; -0,5].
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Kann es sein, dass ich bei b) nicht nur 3 Fälle sondern 4 Fälle betrachten muss?
Fall 1: x<-2
Fall 2: -2 [mm] \le [/mm] x<-1
Fall3: -1 [mm] \le [/mm] x<0
Fall4: x [mm] \ge [/mm] 0
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(Antwort) fertig | | Datum: | 11:56 Mi 27.10.2010 | | Autor: | M.Rex |
Hallo
Nein, deine drei Fälle in b) sind korrekt.
Fall 1: [mm] x\ge0, [/mm]
Dann ist
||x+2|-|x||=|x+2-x|
Fall 2: $ [mm] -2\le [/mm] x <0 $
Dann ist
||x+2|-|x||=|x+2-(-x)|
Fall3: $ x<-2 $
Dann ist
||x+2|-|x|| =|-(x+2)-(-x)|
Marius
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(Antwort) fertig | | Datum: | 12:02 Mi 27.10.2010 | | Autor: | M.Rex |
Hallo.
Woher hast du diese Lösungsmenge her.
Wenn ich mit die Funktionen [mm] \red{f(x)=|x|+|x-1|} [/mm] und [mm] \green{g(x)=|x+1|} [/mm] anschaue, bekomme ich folgendes Schaubild:
[Dateianhang nicht öffentlich]
Marius
Dateianhänge:
Anhang Nr. 1 (Typ: png) [nicht öffentlich]
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du hast grad die graphische lösung für a)
b) muss doch ganz anderst aussehen!
denn da geht eine gerade duch y=1.
verstehst du????
aber ich komme irgendwie immer noch nicht auf die richtigen Lösungen beim rechnerischen.
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| Status: |
(Antwort) fertig | | Datum: | 13:20 Mi 27.10.2010 | | Autor: | M.Rex |
Hallo
Du hast also folgende Grafik:
[Dateianhang nicht öffentlich]
Fall1: $ x<-2 $
Dann ist
$ ||x+2|-|x||=|-(x+2)-(-x)|=|-x+2+x|=|-2|=2 $
Und da 2>1 ist [mm] \IL_{1}=\emptyset.
[/mm]
Fall2:
[mm] x\ge0
[/mm]
Dann ist
$ ||x+2|-|x||=|(x+2)-(x)|=|2|=2 $
Und da 2>1 ist [mm] \IL_{2}=\emptyset.
[/mm]
Bleibt Fall3: $ [mm] -2\le [/mm] x<0 $
Dann ist
$ ||x+2|-|x||=|(x+2)-(-x)|=|2x+2| $
Also gilt es, folgende Ungleichung zu lösen: |2x+2|<1, aber unter der Einschränkung von Fall3.
Leider liegt die "Kritische Stelle" von |2x+2| bei x=-1, also innerhalb des Untersuchungsintervalles aus Fall 3
Somit solltest du Fall 3 weiter aufteilen, in
Fall 3.1: $ [mm] -2\le [/mm] x<-1 $
und Fall 3.2: $ [mm] -1\le [/mm] x<0 $
Marius
Dateianhänge:
Anhang Nr. 1 (Typ: png) [nicht öffentlich]
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Kann ich auch in 6 Fälle unterscheiden?
Also so: Fall 1: x<-2
Fall 2: -2 [mm] \le [/mm] x < -1,5
Fall 3: -1,5 [mm] \le [/mm] x <-1
Fall 4: -1 [mm] \le [/mm] x < -0,5
Fall 5: -0,5 [mm] \le [/mm] x <0
Fall 6: 0 [mm] \le [/mm] x
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| Status: |
(Antwort) fertig | | Datum: | 17:35 Mi 27.10.2010 | | Autor: | leduart |
Hallo
man kann immer - wenn man Zeit hat- ein paar unnötige Fallunterscheidungen machen.
Gruss leduart
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