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| Aufgabe | | gesucht sind alle zahlen x [mm] \in \IR [/mm] mit der eigenschaft |x+2| [mm] \ge [/mm] |2x+1| |
hallo,
meine vorgehensweise ist immer die folgende:
1.) ich schaue wann jeweils meine beträge =0 werden.
beim ersten betrag wäre es bei x=-2 und beim 2. betrag wäre es bei [mm] x=-\bruch{1}{2}
[/mm]
daraus folgen für mich dann folgende fallunterscheidungen:
1. Fall) [mm] -\infty [/mm] < x < -2
2. Fall) -2 [mm] \le [/mm] x < - [mm] \bruch{1}{2}
[/mm]
3. Fall) [mm] -\bruch{1}{2} \le [/mm] x < [mm] \infty [/mm]
so... nun war bisher bei mir immer das vorgehen, dass die beträge in eine klammer gefasst wurden und beim ersten fall beide ein minus davorbekommen haben, beim 2. fall nur der linke ein minus und beim 3. fall beide positive klammern hatten.
das hatte keine logik sondern habe ich in einer lösung gesehen und das immer so gemacht. ich denke allerdings sehr dass es falsch ist.
frage nun: wie wähle ich die vorzeichen die nacher die klammern um meine betragsausdrücke haben.
sind beim ersten fall unabhängig von meinen werten immer beide klammern mit einem minus zu versehen?
ist beim 2. fall immer der kleinere betrag mit einem minus zu versehen?
und sind beim 3. fall dann beide klammern positiv zu versehen?
ich gebe zu die fragen sind vll etwas dumm, und vor allem glaube schwer verständlich was ich nun will. deswegen rechne ich einfach eine vor und ergänze kurz meine gedankengänge.
also die zu berechnende aufgabe steht ja oben drin. und die 3 fälle stehen ja ebenfalls oben bereits erläutert.
meine rechenschritte:
1.) -(x+2) [mm] \ge [/mm] -(2x+1) = -x-2 [mm] \ge [/mm] -2x -1 = x-2 [mm] \ge [/mm] -1 = [mm] x\ge1
[/mm]
hier hatte ich dann beide beträge mit einem minus vor den klammern versehen.
2.) hier versehe ich nun den betrag mit einem minus der kleiner ist, oder kleiner sein soll. laut aufgabenstellung soll ja der rechte ausdruck kleiner/gleich dem linken sein. deshalb ist für mich der rechte ausdruck der kleinere und somit bekommt er das minus vor die klammer.
daraus folgt: (x+2) [mm] \ge [/mm] -(2x+1) = x+2 [mm] \ge [/mm] -2x-1 = [mm] 3x2+2\ge-1 [/mm] = 3x [mm] \ge [/mm] -3 = [mm] x\ge-1
[/mm]
3.) hier bekommt dann keine klammer mehr ein minus.
daraus folgt: (x+2) [mm] \ge [/mm] (2x+1) = x+2 [mm] \ge [/mm] 2x+1 = 2 [mm] \ge [/mm] x+1 = 1 [mm] \ge [/mm] x
daraus ergibt sich dann für mich:
1.Fall) ungleichung ist für den gegebenen bereich der - [mm] \infty [/mm] bis -2 umfasst, nicht erfüllt da x [mm] \ge [/mm] 1 ist.
2.Fall) ungleichung ist erfüllt für alle x mit -1 [mm] \le [/mm] x < [mm] -\bruch{1}{2} [/mm] erfüllt.
3.fall) ungleichung ist erfüllt für alle x mit [mm] -\bruch{1}{2} \le [/mm] x [mm] \le [/mm] 1
daraus ergibt sich insgesamt: ungleichung ist erfüllt für alle x aus dem bereich [mm] -1\le [/mm] x [mm] \le [/mm] 1
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Hallo freak-club,
> gesucht sind alle zahlen x [mm]\in \IR[/mm] mit der eigenschaft
> |x+2| [mm]\ge[/mm] |2x+1|
> hallo,
>
> meine vorgehensweise ist immer die folgende:
>
> 1.) ich schaue wann jeweils meine beträge =0 werden.
> beim ersten betrag wäre es bei x=-2 und beim 2. betrag
> wäre es bei [mm]x=-\bruch{1}{2}[/mm]
>
> daraus folgen für mich dann folgende
> fallunterscheidungen:
>
> 1. Fall) [mm]-\infty[/mm] < x < -2
> 2. Fall) -2 [mm]\le[/mm] x < - [mm]\bruch{1}{2}[/mm]
> 3. Fall) [mm]-\bruch{1}{2} \le[/mm] x < [mm]\infty[/mm]
>
> so... nun war bisher bei mir immer das vorgehen, dass die
> beträge in eine klammer gefasst wurden und beim ersten
> fall beide ein minus davorbekommen haben, beim 2. fall nur
> der linke ein minus und beim 3. fall beide positive
> klammern hatten.
>
> das hatte keine logik sondern habe ich in einer lösung
> gesehen und das immer so gemacht. ich denke allerdings sehr
> dass es falsch ist.
>
> frage nun: wie wähle ich die vorzeichen die nacher die
> klammern um meine betragsausdrücke haben.
Das Vorzeichen entpricht dem Vorzeichen von x+2 bzw. 2x+1.
Wenn [mm]x+2 \ge 0[/mm], dann "+", sonst "-"
bzw.
wenn [mm]2x+1 \ge 0[/mm], dann "+", sonst "-"
>
> sind beim ersten fall unabhängig von meinen werten immer
> beide klammern mit einem minus zu versehen?
Richtig.
> ist beim 2. fall immer der kleinere betrag mit einem minus
> zu versehen?
Der Ausdruck zwischen den Betragzeichen,
der kleiner als 0 ist, ist mit einem "-" zu versehen.
> und sind beim 3. fall dann beide klammern positiv zu
> versehen?
Richtig.
>
> ich gebe zu die fragen sind vll etwas dumm, und vor allem
> glaube schwer verständlich was ich nun will. deswegen
> rechne ich einfach eine vor und ergänze kurz meine
> gedankengänge.
>
> also die zu berechnende aufgabe steht ja oben drin. und die
> 3 fälle stehen ja ebenfalls oben bereits erläutert.
>
> meine rechenschritte:
>
> 1.) -(x+2) [mm]\ge[/mm] -(2x+1) = -x-2 [mm]\ge[/mm] -2x -1 = x-2 [mm]\ge[/mm] -1 =
> [mm]x\ge1[/mm]
> hier hatte ich dann beide beträge mit einem minus vor den
> klammern versehen.
>
> 2.) hier versehe ich nun den betrag mit einem minus der
> kleiner ist, oder kleiner sein soll. laut aufgabenstellung
> soll ja der rechte ausdruck kleiner/gleich dem linken sein.
> deshalb ist für mich der rechte ausdruck der kleinere und
> somit bekommt er das minus vor die klammer.
> daraus folgt: (x+2) [mm]\ge[/mm] -(2x+1) = x+2 [mm]\ge[/mm] -2x-1 =
> [mm]3x2+2\ge-1[/mm] = 3x [mm]\ge[/mm] -3 = [mm]x\ge-1[/mm]
>
> 3.) hier bekommt dann keine klammer mehr ein minus.
> daraus folgt: (x+2) [mm]\ge[/mm] (2x+1) = x+2 [mm]\ge[/mm] 2x+1 = 2 [mm]\ge[/mm] x+1
> = 1 [mm]\ge[/mm] x
>
> daraus ergibt sich dann für mich:
>
> 1.Fall) ungleichung ist für den gegebenen bereich der -
> [mm]\infty[/mm] bis -2 umfasst, nicht erfüllt da x [mm]\ge[/mm] 1 ist.
> 2.Fall) ungleichung ist erfüllt für alle x mit -1 [mm]\le[/mm] x
> < [mm]-\bruch{1}{2}[/mm] erfüllt.
> 3.fall) ungleichung ist erfüllt für alle x mit
> [mm]-\bruch{1}{2} \le[/mm] x [mm]\le[/mm] 1
>
> daraus ergibt sich insgesamt: ungleichung ist erfüllt für
> alle x aus dem bereich [mm]-1\le[/mm] x [mm]\le[/mm] 1
Stimmt. ![[ok]](/images/smileys/ok.gif "[ok]")
Gruss
MathePower
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| Status: |
(Antwort) fertig  | | Datum: | 15:01 So 06.03.2011 | | Autor: | fred97 |
Einfacher geht es so:
$|x+2| [mm] \ge [/mm] |2x+1| [mm] \gdw |x+2|^2 \ge |2x+1|^2 \gdw x^2+4x+4 \ge 4x^2+4x+1 \gdw 3x^2-3 \le [/mm] 0 [mm] \gdw x^2 \le1 \gdw [/mm] |x| [mm] \le [/mm] 1$
FRED
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