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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 21:06 Mi 17.11.2010 | | Autor: | Ray07 |
| Aufgabe | Es seien A, B gegebene Mengen, Zeigen Sie, dass gilt:
a) A [mm] \cap [/mm] B = [mm] \emptyset \Rightarrow [/mm] |A [mm] \cup [/mm] B| = |A| + |B|
b) A [mm] \subseteq [/mm] B [mm] \Rightarrow [/mm] |A| [mm] \le [/mm] |B|
c) A [mm] \subseteq [/mm] B [mm] \Rightarrow [/mm] |B \ A| = |B| - |A| |
Hallo^^ bei der Aufgabe weiß ich leider nciht wie ich vorgehen soll, wir hatten Beträge von Mengen noch nicht, aber vielleicht ist es gar nicht so kompliziert wie ich denke
bei der a gehe ich mal davon aus:
|A U B|
= |{x element A v x element B}|
= |{x element [mm] A\B [/mm] v x element [mm] B\A [/mm] v x element A geschnitten B}|
= |{x element [mm] A\B [/mm] v x element [mm] B\A}|
[/mm]
= |{ x element A v x element B}|
= |A| + |B|
bei der b gehe ich mal davon aus, dass eine einzelne menge kleiner gleich die vereinigung von der menge mit einer anderen ist
|A| [mm] \le [/mm] |A [mm] \cup [/mm] B|
[mm] \Rightarrow [/mm] |A| [mm] \le [/mm] |A| + |B| - |A [mm] \cap [/mm] B|
[mm] \Rightarrow [/mm] |A| [mm] \le [/mm] |B|
weil |A| = |A [mm] \cap [/mm] B|, wegen der Teilmenge
und bei der c gehe ich davon aus
|A [mm] \cup [/mm] B| = |A \ B| + |B \ A| + |A [mm] \cap [/mm] B|
[mm] \Rightarrow [/mm] |A [mm] \cup [/mm] B| = |B \ A| + |A [mm] \cap [/mm] B|
[mm] \Rightarrow [/mm] |B| = | B \ A| + |A|
[mm] \Rightarrow [/mm] |B \ A| = |B|-|A|
kann mir bitte einer sagen was ich falsch machen, was ich vorraussetze was ich beweisen muss und wie ich das bitte machen kann xD
danke schön
MFG Ray
Ich habe diese Frage in keinem Forum auf anderen Internetseiten gestellt.
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 21:09 Mi 17.11.2010 | | Autor: | dfx |
Hallo,
Soweit ich gehört habe, ist damit die Mächtigkeit bzw. schlicht die Anzahl der Elemente gemeint, wenn um einer Menge Betragsstriche stehen.
gruss, dfx
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 21:14 Mi 17.11.2010 | | Autor: | Ray07 |
ja des hab ich auch gelesen bei wiki
aber wie mach ich das genau? also wie zeig ich des den?
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(Antwort) fertig | | Datum: | 21:35 Mi 17.11.2010 | | Autor: | dfx |
OK,
das war eben sehr kurz. Also auf ein neues. 
Gut, nehmen wir uns die erste Aufgabe vor. Da steht in etwa folgendes:
Wenn der Schnitt aus $A$ geschnitten $B$ die leere Menge ergibt, dann ist die Anzahl der Elemente, die sich aus der Vereinigung von $A$ und $B$ ergibt, gleich der Anzahl von $|A| + |B|$, also der Addition der Anzahl der Elemente von A und der Anzahl der Elemente von B.
Das hast du daraus gemacht. Schauen wir nochmal genau hin:
> $|A [mm] \cup [/mm] B|$
> $= [mm] |\{x \in A \vee x \in B\}|$
[/mm]
> $= | [mm] \{x \in A $\$ B \vee x \in B $\$ A \vee x \in A \cup B \} [/mm] |$
> $= [mm] |\{x \in A$\$ B \vee x \in B $\$ A \}| [/mm] $
> $= [mm] |\{x \in A \vee x \in B \}|$
[/mm]
> $= |A| + |B|$
Ich glaube die Mengenklammern hättest du dir sparen können, aber davon ab, würd ich das auch nicht so unterschreiben. Hmm, wie wäre es, wenn du mit "Sei n gegeben durch |A [mm] \cup [/mm] B| ..." anfingst, oder noch besser, die ganze Wenn-Dann-Aussage mit aufnimmst. Allerdings sind das jetzt nur so meine Gedanken. Aus der Wenn-Aussage ergibt sich ja offensichtlich das A und B disjunkt sind, ob uns irritieren sollte, dass A und B unendlich seien könnte, kann ich auch nicht so genau sagen. Also sagen wir A und B seien beliebige disjunkte Mengen, und stellen uns vor sie hätten endlich viele Elemente. Dann ist $n$ für $A [mm] \cap [/mm] B, n=0$ ... usf.
dfx
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 21:49 Mi 17.11.2010 | | Autor: | Ray07 |
es ist mir grad voll peinlich aber ich verstehe einfach nicht was du mir sagen willst, xD
was die formel mir sagen will ist mir schon klar, die gibt es ja auch so ähnlich in der statistik
ich peil irgendwie nicht auf was du hinaus willst, kann dran liegen das ich erst seit kurzem studiere und noch nicht so schnell im weiterdenken bin
mfg
sorry
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(Antwort) fertig | | Datum: | 22:13 Mi 17.11.2010 | | Autor: | dfx |
Muss es nicht sein, ich weiß genau, was du meinst.
Bevor ich eben zu dem Ansatz gelangt bin, habe ich, sagen wir mal, zwei Bogen geschlagen. Die würde ich auch gern in dem Beweis wiedersehen. Danach habe ich den eigentlichen Ansatz formuliert und letztendlich will ich darauf hinaus, dass die Addition der Anzahlen ein gültiger Schluss ist. Halten wir daran fest.
Zu zeigen:
$A [mm] \cap [/mm] B = [mm] \emptyset \Rightarrow [/mm] |A [mm] \cup [/mm] B| = |A| + |B|$
Wenn der Schnitt leer ist, kann man die Anzahl der Elemente der Vereinigung als Additionsaufgabe verstehen.
Zur Wiederholung: "Disjunkt heißt, die Elemente zweier Mengen sind sich vollkommen fremd.", "Aus den beiden Mengen lässt sich keine gemeinsame Teilmenge bilden."
Beweis:
Ist $A [mm] \cap [/mm] B = [mm] \emptyset$ [/mm] für beliebige Mengen $A, B$,
[mm] $\Rightarrow [/mm] |A [mm] \cap [/mm] B| = 0$,
[mm] $\Rightarrow$ [/mm] da $A, B$ disjunkt.
[mm] $\Rightarrow$ [/mm] Sind nun [mm] $n_A, n_B \in \IN$ [/mm] die Anzahlen der Elemente von $A, B$,
[mm] $\Rightarrow [/mm] |A| + |B| = [mm] n_A [/mm] + [mm] n_B$
[/mm]
[mm] $\Rightarrow n_A [/mm] + [mm] n_B=|A \cap [/mm] B|$. qed
Ich bin zwar nicht ganz mit mir zufrieden, aber so stell ich mir den Beweis davon in etwa vor. Komisch ist nur, man könnte wohl auf [mm] $n_A, n_B$ [/mm] verzichten, denke ich.
Edit:
Ist $A [mm] \cap [/mm] B = [mm] \emptyset$ [/mm] für beliebige Mengen $A, B$
und C eine Menge als Ergebnis der Operationen auf A, B.
[mm] $\Rightarrow [/mm] |A [mm] \cap [/mm] B| = |C| $
[mm] $\Rightarrow [/mm] $ nach Voraussetzung $|C| = 0$
[mm] $\Rightarrow [/mm] A, B$ disjunkt.
[mm] $\Rightarrow$ [/mm] Ist $C = A [mm] \cup [/mm] B$
[mm] $\Rightarrow [/mm] |C|=|A [mm] \cup [/mm] B|$
[mm] $\Rightarrow [/mm] |C|=|A|+|B|$.
Was hälst du davon? Es gibt sicher noch einige andere Möglichkeiten, aber ich glaube nicht, dass es sinnvoll ist in dem Fall wie du über die einzelnen Elemente zu gehen. Interessant in meinen Augen wäre noch einen Widerspruch herzuleiten. Vielleicht möchtest du das ja mal probieren. Ich muss jetzt leider Schluß machen für heute. Also stell evtl. noch eine Frage und du erhälst sicher professionellere Hilfe.
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(Frage) überfällig  | | Datum: | 22:57 Mi 17.11.2010 | | Autor: | Ray07 |
ja ich glaub so ähnlich hab ich des auch gemeint
die vereinigungsmenge kann ich ja theoretisch ja auch so schreiben
|A [mm] \cup [/mm] B| = |A \ B| + |B \ A| + |A [mm] \cap [/mm] B|
da | A [mm] \cap [/mm] B | = 0 wegen A [mm] \cap [/mm] B = [mm] \emptyset
[/mm]
und |A \ B| = |A \ (A [mm] \cap [/mm] B)| = |A|
und |B \ A|= |B \ (A [mm] \cap [/mm] B)| = |B|
folgt
|A [mm] \cup [/mm] B | = |A| + |B|
danke übrigens für deine geduld
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(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 23:20 Fr 19.11.2010 | | Autor: | matux |
$MATUXTEXT(ueberfaellige_frage)
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