Beträge b. Int. von $\frac1x$ < komplex < Analysis < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
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Beitrag nach Bearbeitung:
Hallo!
wahrscheinlich habt schon oft gehört oder selber gepredigt:
[mm] $\int\frac1x\mathrm dx=|\ln [/mm] x|+c$ - vergiss bloss nicht den Betrag!!!
Nun gebe ich zu diesem "Vergessen" mal meinen Gedanken:
wir betrachten die [mm] $\ln$-Funktion [/mm] mit komplexem Argument:
[mm] $$\ln(z) [/mm] = [mm] \ln(|z|e^{i\varphi})=\ln(|z|)+\ln(e^{i\varphi})=\ln(|z|)+ i\varphi$$ [/mm]
[mm] $\varphi$ [/mm] ist eine reelle Zahl, also ist [mm] $i\varphi$ [/mm] eine imaginäre Zahl, und es gilt:
[mm] $$\ln(|z|) [/mm] + c = [mm] \ln(z),\quad\text{wobei $c$ eine imaginäre Zahl ist}.$$
[/mm]
Wählen wir nun
[mm] $$d=i\varphi+r,\quad r\in\mathbb [/mm] R$$
in
[mm] $$\int \frac1z\mathrm dz=\ln(|z|) +d\quad d\in\mathbb [/mm] C$$
so ergibt sich doch völlig legitim
[mm] $$\int \frac1z\mathrm dz=\ln(|z|) +d=\ln(z)+r=:F(z)$$ [/mm]
Und da dies für komplexe Argument gilt, so muss dies doch auch für reelle Argumente gelten.
Lange Rede, Sinn meiner Behauptung: [mm] $F(x)=\ln(x)$ [/mm] - auch ohne Betrag - ist eine mögliche Stammfunktion von [mm] $f(x)=\frac1x$.
[/mm]
Was meint ihr dazu?
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| Status: |
(Antwort) fertig  | | Datum: | 12:09 Sa 20.04.2013 | | Autor: | fred97 |
> Hallo!
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> wahrscheinlich habt schon oft gehört oder selber
> gepredigt:
> [mm]\int\frac1x\mathrm dx=|\ln x|+c[/mm] - vergiss bloss nicht den
> Betrag!!!
Ja, aber bitte an der richtigen Stelle !!! Also:
[mm]\int\frac1x\mathrm dx=\ln |x|+c[/mm]
>
> Nun gebe ich zu diesem "Vergessen" mal meinen Gedanken:
>
> wir betrachten die [mm]\ln[/mm]-Funktion mit komplexem Argument:
> [mm]\ln(z) = \ln(|z|e^{i\varphi})=\ln(|z|)+\ln(e^{i\varphi})=\ln(|z|)+ i\varphi[/mm]
Im Komplexen ist ln mehrdeutig ! Ist [mm] \varphi [/mm] ein Argument von z, so bekommst Du alle Log. von z durch
[mm]\ln(z) =\ln(|z|)+ i\varphi+ 2k \pi *i[/mm] (k [mm] \in \IZ)
[/mm]
>
> [mm]\varphi[/mm] ist eine reelle Zahl, also ist [mm]i\varphi[/mm] eine
> imaginäre Zahl, und es gilt:
> [mm]\ln(|x|) + c = \ln(x),\quad\text{wobei $c$ eine imaginäre Zahl ist}.[/mm]
Ja, was jetzt ? x [mm] \in \IR [/mm] ? oder z [mm] \in \IC [/mm] ? Ist jetzt z=x
>
Ab jetzt wirds (für mich ) völlig unverständlich !
> Wählen wir nun
> [mm]d=-i\varphi+r,\quad r\in\mathbb R[/mm]
> in
> [mm]\int \frac1x\mathrm dx=\ln(x) +d\quad d\in\mathbb C[/mm]
> so
> ergibt sich doch völlig legitim
> [mm]\int \frac1x\mathrm dx=\ln(x) +d=:F(x)[/mm]
> mit [mm]F(x)[/mm] als reellwertiger Funktion -?
> Die Integrationskonstante kann also dieStamm-Funktion in
> zwei Dimensionen verschieben:
> 1. zum einen in [mm]y[/mm]-Richtung
> 2. vom reellen ins komplexe
>
> In der Schule wird das 2. demnach nicht berücksichtigt und
> sogar leider als falsch deklariert! - oder mache ich hier
> selber nen Fehler?
Da blick ich nicht mehr durch. Wäre es möglich, dass Du Dich klar ausdrückst ?
>
> Was meint ihr dazu?
Machen wirs kurz:
In [mm] \IR [/mm] \ { 0 } hat die Funktion 1/x die Stammfunktionen ln(|x|) +c
In [mm] \IC [/mm] \ { 0 } hat die Funktion 1/z keine Stammfunktion.
FRED
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Hallo Fred,
vielen Dank für rasche! Antwort.
Ich habe versucht, mich verständlicher auszudrücken, und den Beitrag bearbeitet.
Frage bleibt für mich:
Ist $F(x)=ln(x)$ eine mögliche Stammfunktion von [mm] $f(x)=\frac1x$??
[/mm]
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| Status: |
(Antwort) fertig | | Datum: | 12:34 Sa 20.04.2013 | | Autor: | fred97 |
> Hallo Fred,
>
> vielen Dank für rasche! Antwort.
> Ich habe versucht, mich verständlicher auszudrücken, und
> den Beitrag bearbeitet.
>
> Frage bleibt für mich:
>
> Ist [mm]F(x)=ln(x)[/mm] eine mögliche Stammfunktion von
> [mm]f(x)=\frac1x[/mm]??
Ja, für x>0
FRED
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> > Frage bleibt für mich:
> >
> > Ist [mm]F(x)=ln(x)[/mm] eine mögliche Stammfunktion von
> > [mm]f(x)=\frac1x[/mm]??
>
> Ja, für x>0
>
..mmh... also ich find das alles gar nicht so trial.
Es scheint doch wohl so zu sein, dass man sehr wohl über ganz [mm] $\mathbb [/mm] R$ (außer 0) integrieren kann, die Stammfunktion aber nur für x>0 reellwertig ist. Demnach dürfte ein Schüler im Abitur die Antwort [mm] "$\ln(x)$ [/mm] ist eine Stammfunktion von [mm] $\frac1x$" [/mm] geben - [mm] \textit{ohne} [/mm] erwähnen zu müssen: $x>0$.
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| Status: |
(Antwort) fertig | | Datum: | 13:14 Sa 20.04.2013 | | Autor: | fred97 |
Wir betrachte die Funktion f(x):=1/x für x [mm] \ne [/mm] 0
f hat auf (0, [mm] \infty) [/mm] die Stammfunktion ln(x)
f hat auf ( - [mm] \infty, [/mm] 0) die Stammfunktion ln(-x)
Fazit:
f hat auf [mm] \IR [/mm] \ { 0 } die Stammfunktion ln(|x|)
Jetzt klar ?
FRED
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