Beta bestimmenfür eine Parabel < Eigenwerte < Lineare Algebra < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
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| Aufgabe | Bestimmen sie [mm] \beta \in \mathbb{R}, [/mm] so dass durch die Gleichung
[mm] (\beta+2)x_1^2+(\beta+2)x_2^2+2\beta x_1x_2+2\sqrt{2}x_1+6\sqrt{2}x_2-6=0 [/mm] eine Parabel dargestellt wird. Transformieren Sie die gefundene Parabelgleichung auf Normalform und skizzieren Sie die Parabel in der [mm] (x_1,x_2)-Ebene. [/mm] |
Ich habe die Lösung zu dieser Aufgabe und kann fast alles nachvollziehen bis auf einen Teil.
[mm] \beta [/mm] muss so gewählt werden, dass es eine Parabelgleichung wird.
[mm] (\beta+2)x_1^2+(\beta+2)x_2^2+2\beta x_1x_2+2\sqrt{2}x_1+6\sqrt{2}x_2-6=0
[/mm]
[mm] A_\beta [/mm] = [mm] \pmat{ \beta +2 & \beta \\ \beta & \beta +2 }
[/mm]
EW: [mm] det(A_\beta-1I)=det \pmat{ \beta +2 -1& \beta \\ \beta & \beta +2-1 }= (\beta+2-1)(\beta [/mm] +2 [mm] -1)-\beta^2=(\beta+2-1-\beta)(\beta [/mm] +2 [mm] -1+\beta)=(2-1)(2 \beta [/mm] +2 -1)=0 [mm] \Rightarrow \lambda_1=2, \lambda_2= 2\beta+2 \Rightarrow [/mm] EW: [mm] \lambda_1=2, \lambda_2=2\beta+2
[/mm]
Parabel hat die Form: [mm] y_2=\alpha [/mm] * [mm] y_1^2 [/mm] oder [mm] y_1=\alpha [/mm] * [mm] y_2^2
[/mm]
[mm] \Rightarrow [/mm] Parabel nur möglich, falls [mm] \beta [/mm] =-1 [mm] \Rightarrow A_{-1} \pmat{ 1 & -1 \\ -1 & 1 }
[/mm]
Meine Fragen hierzu: Warum muss [mm] \beta [/mm] =-1 gelten, damit hier eine Parabel möglich ist? Diesen Schritt verstehe ich nicht.
Über Hinweise würde ich mich sehr freuen.
Ich habe diese Frage in keinem Forum auf anderen Internetseiten gestellt.
Vielen Dank,
MonoMatematico
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Hiho,
sind [mm] $\lambda_1,\lambda_2$ [/mm] die Eigenwerte deiner Matrix, so hat nach der Transformation deine Gleichung allgemein die Gestalt:
[mm] ${\displaystyle \lambda _{1}y_1 ^{2}+\lambda _{2}y_2 ^{2}+\varepsilon y_1 +\delta y_2 +\omega =0}$
[/mm]
Nun möchtest du aber eine Parabel haben, d.h. einer der beiden quadratischen Terme muss verschwinden.
D.h. entweder muss [mm] $\lambda_1 [/mm] = 0$ oder [mm] $\lambda_2 [/mm] = 0$ gelten.
Nun hast du bereits ausgerechnet:
> EW: [mm]det(A_\beta-1I)=det \pmat{ \beta +2 -1& \beta \\ \beta & \beta +2-1 }= (\beta+2-1)(\beta[/mm]
> +2 [mm]-1)-\beta^2=(\beta+2-1-\beta)(\beta[/mm] +2 [mm]-1+\beta)=(2-1)(2 \beta[/mm]
> +2 -1)=0 [mm]\Rightarrow \lambda_1=2, \lambda_2= 2\beta+2 \Rightarrow[/mm]
> EW: [mm]\lambda_1=2, \lambda_2=2\beta+2[/mm]
[mm] $\lambda_1 [/mm] = 2 [mm] \not=0$ [/mm] also kann nur [mm] $\lambda_2 [/mm] = 0$ durch geeignete Wahl von [mm] $\beta$ [/mm] erreicht werden… und das ist eben gerade der Fall für [mm] $\beta [/mm] = -1$
Gruß,
Gono
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