Bestimmung von Nullstellen < Komplexe Zahlen < Analysis < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 12:00 Fr 30.03.2012 | | Autor: | Chrism91 |
| Aufgabe | Gegeben ist [mm] q(z)=z^{3}+(-1-5i)z^{2}+(-6+5i)z+6
[/mm]
Welche der folgenden Aussagen sind wahr, welche falsch? Begruenden Sie jeweils ihre Entscheidung:
1) q hat mindestens eine reelle Nullstelle.
2) q hat nur reelle Nullstellen.
3) q hat mindestens eine echt komplexe Nullstelle.
4) q hat nur echt komplexe Nullstellen. |
Also alles was ich sehe, sind maximal 3 moegliche Nullstellen da es ein Polynom 3. Grades ist. Dies ist eine Klausuraufgabe gewesen.
Gibt es Verfahren wie ich leicht herausfinden kann, um was fuer Nullstellen es sich handelt? Ohne dabei das Polynom in seine Linearfaktoren zu zerlegen?
Gruesse,
chrism
Ich habe diese Frage in keinem Forum auf anderen Internetseiten gestellt.
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 12:08 Fr 30.03.2012 | | Autor: | fred97 |
> Gegeben ist [mm]q(z)=z^{3}+(-1-5i)z^{2}+(-6+5i)z+6[/mm]
> Welche der folgenden Aussagen sind wahr, welche falsch?
> Begruenden Sie jeweils ihre Entscheidung:
> 1) q hat mindestens eine reelle Nullstelle.
> 2) q hat nur reelle Nullstellen.
> 3) q hat mindestens eine echt komplexe Nullstelle.
> 4) q hat nur echt komplexe Nullstellen.
> Also alles was ich sehe, sind maximal 3 moegliche
> Nullstellen da es ein Polynom 3. Grades ist. Dies ist eine
> Klausuraufgabe gewesen.
> Gibt es Verfahren wie ich leicht herausfinden kann, um was
> fuer Nullstellen es sich handelt? Ohne dabei das Polynom in
> seine Linearfaktoren zu zerlegen?
ich meine, es springt einem doch ins Auge, dass z=1 eine Nullstelle ist.
Was kannst Du dann über 1) und 4) sagen ?
Zu 2): Nimm mal an, q hätte nur reelle Nullstellen, dann gibt es also [mm] r_1,r_2 \in \IR [/mm] mit
[mm] $q(z)=(z-1)(z-r_1)*(z-r_2)$
[/mm]
Wenn Du das ausmultiplizierst, was kannst Du dann über die Koeeffizienten von q sagen ?
Mit diesen Informatieonen mach Dich über 3) her.
FRED
> Gruesse,
> chrism
> Ich habe diese Frage in keinem Forum auf anderen
> Internetseiten gestellt.
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