Bestimmung von Grenzwerten < Folgen und Reihen < eindimensional < reell < Analysis < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 18:21 So 29.04.2007 | | Autor: | Leader |
| Aufgabe | Bestimme den Grenzwert
[mm] \limes_{n\rightarrow\infty} [/mm] ( 1 + [mm] \bruch{7}{n} )^n [/mm] |
Hallo,
ich hätte gern einmal gewusst, wie man im Allgemeinen Grenzwerte von Folgen bestimmt. Ich rechne es mal an einer Übungsaufgabe vor (wie ich es intuitiv machen würde), wüsste aber gern, ob das der allgemeine mathematisch korrekte Weg ist oder ob man das anders macht (insbesondere erscheint mir meine Herangehensweise etwas sehr einfach).
Meine Vorgehensweise wäre:
1. Der Bruch 7/n ist offensichtlich eine Nullfolge, strebt also gegen 0 und braucht daher nicht weiter berücksichtigt werden (dies ist ein Grenzwertgesetz).
2. Es bleibt nun nur noch [mm] 1^n [/mm] übrig. Dies ergibt immer 1. Also ist der Grenzwert der Folge 1.
LG,
Leader.
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Hallo Leader,
da hast du dir aber gleich ne harte Folger ausgesucht.
Ganz so einfach ist die Sache hier nicht, da du noch das ^n hinter der Klammer hast.
Die "berühmte" Folge [mm] $\left(1+\frac{1}{n}\right)^n$ [/mm] strebt nämlich für [mm] $n\rightarrow\infty$ [/mm] gegen $e$
Und damit [mm] $\left(1+\frac{\red{7}}{n}\right)^n$ [/mm] gegen [mm] $e^\red{7}$
[/mm]
Gruß
schachuzipus
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 19:07 So 29.04.2007 | | Autor: | Leader |
Und wie geht man etwa vor, um auf dieses Ergebnis zu kommen?
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> Und wie geht man etwa vor, um auf dieses Ergebnis zu
> kommen?
Hallo,
ich würde so vorgehen:
Da Du den Grenzwert bestimmen sollst, steht dessen Existenz ja nicht mehr zur Debatte.
Wenn die Folge [mm] a_n:= [/mm] ( 1 + [mm] \bruch{7}{n} )^n [/mm] konvergiert, konvergiert jede Teilfolge gegen denselben Grenzwert.
Also ist $ [mm] \limes_{n\rightarrow\infty} [/mm] $ ( 1 + $ [mm] \bruch{7}{n} )^n [/mm] $= $ [mm] \limes_{n\rightarrow\infty} [/mm] $ ( 1 + $ [mm] \bruch{7}{7n} )^{7n} [/mm] $= $ [mm] \limes_{n\rightarrow\infty} [/mm] $ ( 1 + $ [mm] \bruch{1}{n} )^{7n} [/mm] $= $ [mm] (\limes_{n\rightarrow\infty} [/mm] $ ( 1 + $ [mm] \bruch{1}{n} )^n)^7 [/mm] $
Den Grenzwert [mm] \limes_{n\rightarrow\infty} [/mm] $ ( 1 + $ [mm] \bruch{1}{n} )^n [/mm] kennt "man".
Gruß v. Angela
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