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| Aufgabe | Führen Sie für folgende Funktion eine verkürzte Kurvendiskussion durch.
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Hallo erstmal,
mein Mathe-Prof. hat mir diese Seite hier empfohlen, wenn ich mal nicht weiterkomme 
Undzwar hab ich folgendes Problem. Ich soll für die folgende Funktion eine verkürzte Kurvendiskussion durchführen.
[mm] f(x)=x*\bruch{\left| x \right|+1}{x-1} [/mm]
Also den Definitionsbereich, Extrama und Wendepunkte bekomm ich hin. Allerdings soll ich auch das Grenzwertverhalten für +oo, -oo und an den Definitionslücken bestimmen. Eine Definitionslücke gibt es hier bei x=1. Aber wie bestimme ich jetzt davon die Grenzwerte? Ich kann ja nicht einfach die 1 in die Funktion einsetzen und hab den Grenzwert, weil es halt eine Polstelle ist.
Vielen Dank für Eure Hilfe.
Gruß
Volker
Ich habe diese Frage in keinem Forum auf anderen Internetseiten gestellt.
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 18:55 Di 19.12.2006 | | Autor: | leduart |
Hallo Volker
![[willkommenmr]](/images/smileys/willkommenmr.png "[willkommenmr]")
An der Stelle x=1 kannst du wirklich nur feststellen f gegen [mm] \infty.
[/mm]
Aber du sollst das verhalten für x gegen [mm] +\infty [/mm] untersuchen.dax>0 hast du [mm] x*\bruch{x+1}{x-1}=x*\bruch{1+1/x}{1-1/x}d. [/mm] h. für x gegen [mm] +\infty [/mm] geht die Funktion wie g(x)=x gegen unendlich, d.h. g(x) ist Assymptote.
Mach dasselbe für neg x mit |x|=-x für x<0 und such auch da ne Assymptote.
Gruss leduart
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Also muss ich sozusagen da schon die Fallunterscheidung machen, wenn ich das Verhalten für +oo und -oo der Funktion bestimmen will?
Aber das mit der Polstelle bei 1 bekomm ich trotzdem noch nicht hin. Ich muss mich ja sozusagen von links und von rechts der Polstelle annähern und untersuchen, wie sich die Funktion verhält. Ich hab mir mal den Graphen zeichnen lassen, wenn ich mich von links annäher geht sie nach -oo und wenn ich mich von rechts annäher geht sie nach +oo. Aber wie mache ich das rechnerisch? Ich könnte ja sagen ich setze 0.9999 und 1.00001 in die Funktion ein. Aber das ist ja nicht der korrekte Beweis.
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(Antwort) fertig | | Datum: | 00:46 Mi 20.12.2006 | | Autor: | Loddar |
Hallo Volker!
> Also muss ich sozusagen da schon die Fallunterscheidung
> machen, wenn ich das Verhalten für +oo und -oo der Funktion
> bestimmen will?
![[ok]](/images/smileys/ok.gif "[ok]") Ja.
> Ich könnte ja sagen ich setze 0.9999 und 1.00001 in die Funktion ein.
> Aber das ist ja nicht der korrekte Beweis.
Aber Du kennst doch z.B. bei linksseitiger Annäherung die Vorzeichen der einzelen Terme wie Zähler und Nenner:
$(0 \ < \ ) \ x \ < \ 1$ [mm] $\Rightarrow$ [/mm] $x \ > \ 0$ sowie $|x|+1 \ = \ +x+1 \ > \ 0$ sowie $x-1 \ [mm] \red{<} [/mm] \ 0$
Damit erhältst Du: [mm] $x*\bruch{|x|+1}{x-1} [/mm] \ = \ [mm] (+)*\bruch{(+)}{(-)} [/mm] \ = \ (-)$ also: $< \ 0$ .
Gruß
Loddar
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Alsoo, wir haben das jetzt in der Übung so gemacht. Wenn wir den rechtsseitingen Grenzwert für 1 ausrechnen, haben wir das x in der Funktion, durch die Folge [mm]1-\bruch{1}{n}[/mm], ersetzt und dann das ganze gegen [mm]\infty[/mm] laufen lassen. Die Funktion sieht dann so aus:
[mm] \limes_{n\rightarrow\infty} \left( \bruch{(1-\bruch{1}{n}*(\left| 1-\bruch{1}{n} \right|+1)}{1-\bruch{1}{n}-1} \right)
[/mm]
Okay den Grenzwert dann zu bestimmen habe ich soweit verstanden. Aber warum kann man das so ersetzen und muss das ganze dann gegen [mm] \infty [/mm] laufen lassen?
Gruß
Volker
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(Antwort) fertig | | Datum: | 15:59 Do 21.12.2006 | | Autor: | leduart |
Hallo
Das mit 1+1/n bzw.1-1/n
ist doch fast dasselbe, wie du mit dem 0,999 und 1,0001 gemacht hast, du hast 1+1/1000 und 1-1/1000 ausprobiert, warum dann nicht im Nenner gleich 1/n für immer größere n?also n gegen unendlich, du kannst genausogut [mm] 1+\bruch{1}{10^n} [/mm] nehmen, oder [mm] 1+a_n [/mm] mit [mm] a_n [/mm] irgendeine Nullfolge! d.h.
[mm] \limes_{n\rightarrow\infty}a_n=0, [/mm] 1/n ist dafür nur einbesonders einfaches Beispiel, und du näherst dich der Stelle so garantiert beliebig nahe von links und von rechts. Ich hatte dir das mit [mm] 1+\varepsilon [/mm] mit [mm] \varepsilon [/mm] gegen 0 geraten.
Gruss leduart
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(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 16:35 Do 21.12.2006 | | Autor: | magic1980 |
Aaaah jetzt ist der Groschen gefallen =)
Danke.
Ihr seid Klasse.
Volker
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