Bestimmung von Funktionswerten < Differenzialrechnung < Analysis < Oberstufe < Schule < Mathe < Vorhilfe
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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 12:24 Sa 15.07.2006 | | Autor: | nina13 |
| Aufgabe | | Bestimmen Sie sin 17/3 [mm] \pi [/mm] und cos (-5/4 [mm] \pi) [/mm] |
Ich verstehe überhaupt nicht, wie ich davon ohne TR die Funktionswerte bestimmen kann.
Könnte mir das vielleicht jemand erklären??
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Kennst du denn die Definition von sin und cos?
Zeichne einen Einheitskreis mir Radius 1 in ein Koordinatensystem
Markiere einen Punkt auf dem Kreis und zeichne von diesem Punkt eine Strecke senkrecht auf die x-AChse und eine Strecke zum Ursprung. Du erhälst so ein rechtwinkliges Dreieck!
Die Strecke vom Punkt zum Ursprung bildet mit der positiven x-Achse einen Winkel.
Der Sinus dieses Winkels ergibt genau die Höhe des Punktes über der x-Achse, und der Cos ergibt genau den Abstand zur y-AChse.
Mit anderen Worten: sin und cos sind die Katheten des rechtwinkligen Dreiecks, die Hypothenuse ist 1.
Für bestimmte Winkel kannst du nun die Längen des Dreiecks auch ohne sin und cos berechnen.
Beispielsweise ergibt deine Cos-Aufgabe ein rechtwinkliges, gleichschenkliges Dreieck, also mit zwei mal 45°. Mit Pythagoras kannst du die Katheten bestimmen, die sind beide gleich lang. Es sollte sich [mm] $\bruch{1}{\wurzel{2}}$ [/mm] ergeben, das ist auch der WErt von [mm] $\cos{-4/5\pi}$.
[/mm]
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 13:14 Sa 15.07.2006 | | Autor: | nina13 |
Den Einheitskreis verstehe ich leider gar nicht.
In meinem Buch wird zu den Aufgaben folgendes gerechnet:
sin 17/3 [mm] \pi [/mm] =sin(5/3 [mm] \pi+2 \pi*2)=sin [/mm] 5/3 [mm] \pi
[/mm]
= sin 300°=-sin 60°=-1/2 [mm] \wurzel{3}
[/mm]
woher bekomme ich aber alles diese Schritte??
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 14:40 Sa 15.07.2006 | | Autor: | M.Rex |
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> Den Einheitskreis verstehe ich leider gar nicht.
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> In meinem Buch wird zu den Aufgaben folgendes gerechnet:
>
> sin 17/3 [mm]\pi[/mm] =sin(5/3 [mm]\pi+2 \pi*2)=sin[/mm] 5/3 [mm]\pi[/mm]
> = sin 300°=-sin 60°=-1/2 [mm]\wurzel{3}[/mm]
>
> woher bekomme ich aber alles diese Schritte??
Hallo Nina,
Schau dir doch mal bitte die Sinuskurve bzw. die Cosinuskurve an. Dann siest du, dass sich ab 360° (im Gradmass) bzw. 2 [mm] \pi [/mm] (im Bogenmass) die Funktionswerte wiederholen. (Das Bild ist im Bogenmass)
[Dateianhang nicht öffentlich]
Jetzt zu deiner ersten Aufgabe.
[mm] sin(\bruch{17}{3} \pi) [/mm] = [mm] sin((\bruch{12}{3} [/mm] + [mm] \bruch{5}{3}) \pi) [/mm] = sin(2*2 [mm] \pi [/mm] + [mm] \bruch{5}{3} \pi) [/mm] = [mm] \underbrace{sin(2*2\pi)}_{=0} [/mm] + [mm] sin(\bruch{5}{3} \pi)
[/mm]
Wenn du das jetzt ins Gradmass umrechnest, (360° [mm] \hat= [/mm] 2 [mm] \pi) [/mm] ergibt sich dein Wert von 300°.
Also [mm] sin(\bruch{5}{3} \pi) [/mm] = sin(300°)
Jetzt weisst du (bzw. hast du oben gesehen), dass sin der Funktionswert des sin alle 360° wiederholt.
Also gilt: sin(300°) = sin(-60°) =, da die Sinusfkt. punktsymmetrisch zum Urspung ist -sin(60°) und der Sinus von 60° ist (kann man in Tabellen nachlesen) [mm] \bruch{1}{2\wurzel{3}}.
[/mm]
Und damit steht dein Ergebnis da.
Beim Cosinus funktioniert es ähnlich.
Marius
Dateianhänge:
Anhang Nr. 1 (Typ: jpeg) [nicht öffentlich]
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Das mit dem Einheitskreis ist relativ einfach, ich erkläre es dir auch nochmal kurz:
[Dateianhang nicht öffentlich]
Das ist der Einheitskreis mit dem rechtwinkligen Dreieck.
Der rote Winkel ist der Winkel [mm] \alpha. [/mm] Dann ist $sin [mm] \alpha$ [/mm] die Höhe des Dreiecks, und $cos [mm] \alpha$ [/mm] ist die Breite des Dreiecks.
Nun ist es eben bei manchen Winkeln möglich, daß man die Höhe und Breite des Dreiecks auch anders, ohne Sin und Cos berechnen kann, beispielsweise, wenn der blaue Winkel 45° groß ist.
Dateianhänge:
Anhang Nr. 1 (Typ: png) [nicht öffentlich]
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