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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 13:29 So 07.09.2008 | | Autor: | f4b |
| Aufgabe | Bestimmen Sie den Inhalt der Fläche zwischen der Parabel [mm] x=y^2 [/mm] und der x-Achse über dem Intervall a;b .
a) a=0 ; b=1
b) a=0 ; b=3
c) a=0 ; b=10
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Hallo zusammen.
Ich bin GK 12. Klasse Mathematik. Die Aufgaben haben wir zwar schon im Unterricht gerechnet (Aufgabe a: 1/3, b: 9, c: 333 1/3), aber dennoch verstehe ich nicht, wie man auf diese Lösungen kommt.
Bei Aufgabe a) haben wir z.B. folgendes gerechnet:
O(n)=1/n x [mm] ((1/n)^2 [/mm] + [mm] (2/n)^2 [/mm] + [mm] (3/n)^2 [/mm] + ... + [mm] (n/n)^2)
[/mm]
[mm] O(n)=1/3^3 [/mm] x [mm] (1^2+2^2+3^2+...+n^2)
[/mm]
O(n)= [mm] 1/n^2 [/mm] x 1/6n x (n+1)x(2n+1)
O(n)= 1/6 x n+1/n x 2n+1/n
O(n)= 1/6 x (1+1/n) x ( 2+1/n)
O(n)= 1/6 (1+1/n)(2+1/n)
Den letzten Schritt verstehe ich noch, denn je kleiner man n wählt, desto näher kommt man auch an 1/6 x ( 2 ) x ( 1 ) !
Aber die anderen Schritte?
Ich habe diese Frage in keinem Forum auf anderen Internetseiten gestellt
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Hallo f4b und herzlich ![[willkommenmr]](/images/smileys/willkommenmr.png "[willkommenmr]") ,
> Bestimmen Sie den Inhalt der Fläche zwischen der Parabel
> [mm]x=y^2[/mm] und der x-Achse über dem Intervall a;b .
>
> a) a=0 ; b=1
> b) a=0 ; b=3
> c) a=0 ; b=10
>
> Hallo zusammen.
>
> Ich bin GK 12. Klasse Mathematik. Die Aufgaben haben wir
> zwar schon im Unterricht gerechnet (Aufgabe a: 1/3, b: 9,
> c: 333 1/3), aber dennoch verstehe ich nicht, wie man auf
> diese Lösungen kommt.
>
> Bei Aufgabe a) haben wir z.B. folgendes gerechnet:
>
> O(n)=1/n x [mm]((1/n)^2[/mm] + [mm](2/n)^2[/mm] + [mm](3/n)^2[/mm] + ... + [mm](n/n)^2)[/mm]
> [mm] $O(n)=1/\red{n}^3$ [/mm] x [mm](1^2+2^2+3^2+...+n^2)[/mm]
> O(n)= [mm]1/n^2[/mm] x 1/6n x (n+1)x(2n+1)
> O(n)= 1/6 x n+1/n x 2n+1/n
> O(n)= 1/6 x (1+1/n) x ( 2+1/n)
> O(n)= 1/6 (1+1/n)(2+1/n)
>
> Den letzten Schritt verstehe ich noch, denn je kleiner man
> n wählt, desto näher kommt man auch an 1/6 x ( 2 ) x ( 1 )
> !
> Aber die anderen Schritte?
Es wird hier in der Rechnung die Obersumme berechnet.
Das Intervall $[a,b]=[0,1]$ wird in n gleichlange (äquidistante) Teilintervalle der Länge [mm] $\frac{b-a}{n}=\frac{1}{n}$ [/mm] aufgeteilt.
Dann werden die n Rechtecksflächen mit der Breite [mm] $\frac{1}{n}$ [/mm] und Höhe [mm] $f\left(\frac{i}{n}\right)$ [/mm] berechnet (für i=1,..,n), Die i sind jeweils die Endpunkte der Teilintervalle.
Eine Rechtecksfläche berechnet sich ja aus [mm] \text{Höhe}\cdot{}\text{Breite}
[/mm]
Das erste Rechteck mit der Grundseite von 0 bis [mm] \frac{1}{n} [/mm] (also Breite [mm] \frac{1}{n}) [/mm] und Höhe [mm] $f\left(\frac{1}{n}\right)$ [/mm] hat also den Flächeninhalt [mm] $A_1=\frac{1}{n}\cdot{}f\left(\frac{1}{n}\right)$
[/mm]
Mit [mm] $f(x)=x^2$ [/mm] ergibt sich also [mm] $A_1=\frac{1}{n}\cdot{}\left(\frac{1}{n}\right)^2$
[/mm]
Dasselbe wird für das nächste Rechteck mit der Grundseite von [mm] \frac{1}{n} [/mm] bis [mm] \frac{2}{n} [/mm] (also Breite [mm] \frac{1}{n}) [/mm] und Höhe [mm] f\left(\frac{2}{n}\right) [/mm] gemacht.
Flächeninhalt entsprechend: [mm] $A_2=\underbrace{\frac{1}{n}}_{\text{Breite}}\cdot{}\underbrace{f\left(\frac{2}{n}\right)}_{\text{Höhe}}=\frac{1}{n}\cdot{}\left(\frac{2}{n}\right)^2$
[/mm]
Dasselbe wird dann für die restlichen n-2 Rechtecke gemacht.
Die Obersumme ergibt sich dann als Summe all dieser n Rechtecksflächeninhalte, also
[mm] $O=\underbrace{\frac{1}{n}\cdot{}\left(\frac{1}{n}\right)^2}_{\text{Flächeninhalt 1.Rechteck}} [/mm] \ + \ [mm] \underbrace{\frac{1}{n}\cdot{}\left(\frac{2}{n}\right)^2}_{\text{Flächeninhalt 2.Rechteck}} [/mm] \ + \ [mm] \underbrace{\frac{1}{n}\cdot{}\left(\frac{3}{n}\right)^2}_{\text{Flächeninhalt 3.Rechteck}} [/mm] \ + \ ..... \ + \ [mm] \underbrace{\frac{1}{n}\cdot{}\left(\frac{n-1}{n}\right)^2}_{\text{Flächeninhalt (n-1).Rechteck}} [/mm] \ + \ [mm] \underbrace{\frac{1}{n}\cdot{}\left(\frac{n}{n}\right)^2}_{\text{Flächeninhalt n.Rechteck}}$
[/mm]
Dann [mm] $\frac{1}{n}$ [/mm] ausklammern:
[mm] $=\frac{1}{n}\cdot{}\left[\left(\frac{1}{n}\right)^2+\left(\frac{2}{n}\right)^2+\left(\frac{3}{n}\right)^2+....+\left(\frac{n-1}{n}\right)^2+\left(\frac{n}{n}\right)^2\right]$
[/mm]
[mm] $=\frac{1}{n}\cdot{}\left[\frac{1^2}{n^2}+\frac{2^2}{n^2}+\frac{3^2}{n^2}+....+\frac{(n-1)^2}{n^2}+\frac{n^2}{n^2}\right]$
[/mm]
Nun [mm] $\frac{1}{n^2}$ [/mm] ausklammern:
[mm] $=\frac{1}{n^3}\cdot{}\left[1^2+2^2+3^2+....+(n-1)^2+n^2\right]$
[/mm]
Nun die Formel für die Summe der ersten n Quadratzahlen benutzen für die eckige Klammer:
[mm] $=\frac{1}{n^3}\cdot{}\frac{n(n+1)(2n+1)}{6}$
[/mm]
[mm] $=\frac{1}{6}\cdot{}\frac{1}{n^2}\cdot{}(n+1)(2n+1)$ [/mm] ....
Hier noch die Klammern ausmultiplizieren und dann in dem ausmultiplizierten Ausdruck [mm] $n^2$ [/mm] ausklammern und gegen das [mm] $\frac{1}{n^2}$ [/mm] kürzen, dann hast du's
> Ich habe diese Frage in keinem Forum auf anderen
> Internetseiten gestellt
>
LG
schachuzipus
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 22:26 So 07.09.2008 | | Autor: | f4b |
+ \ ..... + [mm] \underbrace{\frac{1}{n}\cdot{}\left(\frac{n-1}{n}\right)^2}_{\text{Flächeninhalt (n-1).Rechteck}} [/mm] + [mm] \underbrace{\frac{1}{n}\cdot{}\left(\frac{n}{n}\right)^2}_{\text{Flächeninhalt n.Rechteck}} [/mm]
Gut, ich verstehe alle Rechenschritte, aber wie kommst du/kommen sie auf diese beiden Rechtecke? Warum n-1 und am Ende nochmal nur n? Ich schäme mich für meine Dummheit, tut mir wirklich Leid...
Liebe Grüße
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(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 22:56 So 07.09.2008 | | Autor: | f4b |
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Hallo nochmal,
> + \ ..... +
> [mm]\underbrace{\frac{1}{n}\cdot{}\left(\frac{n-1}{n}\right)^2}_{\text{Flächeninhalt (n-1).Rechteck}}[/mm]
> +
> [mm]\underbrace{\frac{1}{n}\cdot{}\left(\frac{n}{n}\right)^2}_{\text{Flächeninhalt n.Rechteck}}[/mm]
>
> Gut, ich verstehe alle Rechenschritte, aber wie kommst
> du/kommen sie
Du! Hier im Forum sind alle beim "du"
> auf diese beiden Rechtecke? Warum n-1 und am
> Ende nochmal nur n? Ich schäme mich für meine Dummheit, tut
> mir wirklich Leid...
Na, mach mal halblang 
Also das Intervall $[0,1]$ wird in n gleichlange Intervalle der Breite [mm] $\frac{1-0}{n}=\frac{1}{n}$ [/mm] aufgeteilt
Also [mm] $[0,1]=\left[0,\frac{1}{n}\right)\cup\left[\frac{1}{n},\frac{2}{n}\right)\cup\left[\frac{2}{n},\frac{3}{n}\right)\cup ....\cup\left[\frac{n-2}{n},\frac{n-1}{n}\right)\cup\left[\frac{n-1}{n},\underbrace{\frac{n}{n}}_{=1}\right]$
[/mm]
Zeichne dir das für n=4 mal auf
Dann werden für die Obersumme halt über jedem dieser n Teilintervalle der(selben!) Breite [mm] \frac{1}{n} [/mm] die Rechteckflächeninhalte berechnet und aufsummiert.
Die Breite ist wie gesagt bei jedem der n Rechtecke dieselbe, nämlich [mm] $\frac{1}{n}$, [/mm] die Höhe ist jeweils der Funktionswert an der rechten Intervallgrenze, also [mm] $f\left(\frac{i}{n}\right)$
[/mm]
[mm] \blue{i=1} [/mm] beim ersten Rechteck: also ergibt sich [mm] $A_1=\frac{1}{n}\cdot{}f\left(\frac{\blue{1}}{n}\right)=\frac{1}{n}\cdot{}\left(\frac{\blue{1}}{n}\right)^2$
[/mm]
usw. usw.
[mm] \blue{i=n-1} [/mm] beim vorletzten Rechteck ergibt dementsprechend: [mm] $A_{n-1}=\frac{1}{n}\cdot{}f\left(\frac{\blue{n-1}}{n}\right)=\frac{1}{n}\cdot{}\left(\frac{\blue{n-1}}{n}\right)^2$
[/mm]
und für [mm] \blue{i=n}, [/mm] also beim letzten Rechteck ergibt sich entsprechend
[mm] $A_n=\frac{1}{n}\cdot{}f\left(\frac{\blue{n}}{n}\right)=\frac{1}{n}\cdot{}\left(\frac{\blue{n}}{n}\right)^2$
[/mm]
Zeichne dir das mal auf für n=4, teile das Intervall $[0,1]$ in 4 gleichbreite Teilintervalle auf: Länge: [mm] $\frac{1-0}{4}=\frac{1}{4}$
[/mm]
Dann vergleiche mal diese allg. Schreibweise an dem konkreten n=4
Dann siehst du das auch graphisch ...
>
> Liebe Grüße
Ebenso
schachuzipus
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(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 23:33 So 07.09.2008 | | Autor: | f4b |
Okay, vielen Dank, ich hab's !
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