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| Aufgabe | Ein Kunstflieger übt Schleifenbahnen, die in einer Ebene liegen sollen. Er durchfliegt die Punkte A(1/-1/1), B(2/2/1), C(0/0/3) und D(-1/-3/3).
1) Zeige, dass diese Punkte in einer Ebene liegen!
2) Ein zweiter Kunstflieger übt ebenfalls solche Schleifenbahnen. Seine Ebene ist parallel zur Ebene des ersten Fliegers und hat von dieser einen Abstand von 0,5km.
Gib eine mögliche Gleichung für eine solche Ebene an. Erläutere ausführlich deine Überlegungen. |
Hallo
ich bin neu hier und habe ein großes Problem mit o.g. Aufgabe, welche für mich notenentscheidend ist.
Und zwar bin ich an die erste Aufgabe so rangegangen, dass ich eine Ebene aus den Punkten ABC gebildet habe: E:x=(1/-1/1)+r (1/3/0)+s (-1/1/2) ,
was wohl richtig sein sollte!
Dann habe ich eine Punktprobe gemacht! Hierzu habe ich die Eben E mit dem Punkt D gleichgesetzt und es mit Hilfe meines Taschenrechners (TI 83) in Matrizenform ausgerechnet! Dabei bin ich auf folgende Ergebnismatrix gekommen: 1/0/-1
0/1/1
0/0/0
Ist das so richtig? Falls ja was sagt mir das genau? Falls nicht wie muss ich es dann machen?
Bei der zweiten Aufgabe habe ich leider überhaupt keine Ahnung wie ich vorgehen soll und wäre überaus dankbar wenn ihr mir dabei helfen könntet!
mfg Gregor
Ich habe diese Frage in keinem Forum auf anderen Internetseiten gestellt.
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| Status: |
(Antwort) fertig  | | Datum: | 17:45 Di 08.01.2008 | | Autor: | M.Rex |
Hallo.
> Ein Kunstflieger übt Schleifenbahnen, die in einer Ebene
> liegen sollen. Er durchfliegt die Punkte A(1/-1/1),
> B(2/2/1), C(0/0/3) und D(-1/-3/3).
> 1) Zeige, dass diese Punkte in einer Ebene liegen!
> 2) Ein zweiter Kunstflieger übt ebenfalls solche
> Schleifenbahnen. Seine Ebene ist parallel zur Ebene des
> ersten Fliegers und hat von dieser einen Abstand von
> 0,5km.
> Gib eine mögliche Gleichung für eine solche Ebene an.
> Erläutere ausführlich deine Überlegungen.
> Hallo
> ich bin neu hier und habe ein großes Problem mit o.g.
> Aufgabe, welche für mich notenentscheidend ist.
>
> Und zwar bin ich an die erste Aufgabe so rangegangen, dass
> ich eine Ebene aus den Punkten ABC gebildet habe:
> E:x=(1/-1/1)+r (1/3/0)+s (-1/1/2) ,
> was wohl richtig sein sollte!
Ist okay
> Dann habe ich eine Punktprobe gemacht! Hierzu habe ich die
> Eben E mit dem Punkt D gleichgesetzt und es mit Hilfe
> meines Taschenrechners (TI 83) in Matrizenform
> ausgerechnet! Dabei bin ich auf folgende Ergebnismatrix
> gekommen: 1/0/-1
> 0/1/1
> 0/0/0
>
> Ist das so richtig? Falls ja was sagt mir das genau? Falls
> nicht wie muss ich es dann machen?
>
Einfacher geht es mit der Normalenform? habt ihr die schon behandelt?
Also Bringe die Ebene mal in Normalenform [mm] E:\vec{n}*\vec{x}=d
[/mm]
[mm] E:\vec{x}=\vektor{1\\-1\\1}+r\vektor{1\\3\\0}+s\vektor{-1\\1\\2}
[/mm]
Jetzt bilde mal mit dem Kreuzprodukt der Richtungsvektoren einen Normalenvektor [mm] \vec{n}=\vektor{1\\3\\0}\times\vektor{-1\\1\\2}=\vektor{5\\-2\\4}
[/mm]
Mit [mm] \vec{n}*\vec{a} [/mm] bestimmst du jetzt dein d
Also: [mm] d=\vektor{5\\-2\\4}*\vektor{1\\-1\\1}=11
[/mm]
Also ist [mm] E:\vektor{5\\-2\\4}*\vektor{x_{1}\\x_{2}\\x_{3}}=11
[/mm]
(In Koordinatenform also: [mm] 5x_{1}-2x_{2}+4x_{3}=11)
[/mm]
Jetzt kannst du ziemlich schnell prüfen, ob D auf E liegt.
> Bei der zweiten Aufgabe habe ich leider überhaupt keine
> Ahnung wie ich vorgehen soll und wäre überaus dankbar wenn
> ihr mir dabei helfen könntet!
Für die zweite Ebene suchst du eine Ebene, die parallel zu E ist, und den Abstand 0,5 hat (es gibt zwei, eine oberhalb von E und eine unterhalb von E)
Diese Ebene - ich nenne sie ab jetzt mal F - hat denselben Normalenvektor, das heisst, du musst jetzt nur noch einen Punkt auf F finden, um [mm] d_{F} [/mm] zu bestimmen.
Dazu nimm dir mal wieder den Normalenvektor her:
Also [mm] \vec{n}=\vektor{5\\-2\\4}
[/mm]
Diesen streckst du jetzt mit einen Faktor [mm] \lambda [/mm] so, dass er die Länge 0,5 hat.
Also: [mm] \left|\lambda*\vektor{5\\-2\\4}\right|=0,5
[/mm]
[mm] \gdw \wurzel{25\lambda²+4\lambda²+16\lambda²}=0,5
[/mm]
[mm] \gdw \wurzel{45\lambda²}=\bruch{1}{2}
[/mm]
[mm] \gdw \lambda=\pm\bruch{1}{2\wurzel{45}}=\pm\bruch{1}{6\wurzel{5}}
[/mm]
Jetzt weisst du, dass [mm] \pm\bruch{1}{6\wurzel{5}}*\vektor{5\\-2\\4}=\pm\vektor{\bruch{5}{6\wurzel{5}}\\\bruch{-1}{3\wurzel{5}}\\\bruch{2}{3\wurzel{5}}} [/mm] die beiden Skalierten Vektoren der Länge 0,5 sind
Jetzt nimm die einen davon her, und addiere diesen zu [mm] \vec{a}=\vektor{1\\-1\\1}. [/mm] Damit hast du dann einen Punkt auf der neuen Ebene F, ich nenne ihn mal P
Also: [mm] \vec{p}=\vektor{1\\-1\\1}+\vektor{\bruch{5}{6\wurzel{5}}\\\bruch{-1}{3\wurzel{5}}\\\bruch{2}{3\wurzel{5}}}=\vektor{1+\bruch{5}{6\wurzel{5}}\\-1-\bruch{1}{3\wurzel{5}}\\1+\bruch{2}{3\wurzel{5}}}
[/mm]
Jetzt hast du einen Punkt auf F, so dass du mit [mm] \vec{p}*\vec{n} [/mm] das [mm] d_{f} [/mm] bestimmen kannst, und somit die Ebene aufstellen kannst.
Also: [mm] d_{F}=\vektor{1+\bruch{5}{6\wurzel{5}}\\-1-\bruch{1}{3\wurzel{5}}\\1+\bruch{2}{3\wurzel{5}}}*\vektor{5\\-2\\4}
[/mm]
=...
Somit: F: [mm] \vektor{5\\-2\\4}*\vektor{x_{1}\\x_{2}\\x_{3}}=d_{F}
[/mm]
Hilft das erstmal weiter?
Marius
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(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 00:33 Mi 09.01.2008 | | Autor: | gregmaster |
Hallo Marius,
vielen Dank du hast mir sehr geholfen und ich habe die Aufgabe jetzt fertig im Heft stehen  !
Allerdings muss ich dich in einer Sache korrigieren und zwar hast du den Normalenvektor n falsch berechnet: dieser lautet (6/-2/4) und nicht (5/-2/4) !
Nochmals Vielen Dank! Grüße Gregor
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