Bestimmung lokaler Extrema < Funktionen < eindimensional < reell < Analysis < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 16:30 Mi 18.06.2008 | | Autor: | lula |
Hallo zusammen,
hätte eine Frage zu folgender Aufgabe: Bestimme, in welchem Punkt die Funktion ein lokales Max. bzw. Min. hat: [mm] f(x)=e^x*sin(x). [/mm] Zunächst habe ich mal die Ableitungen versucht: [mm] f´(x)=e^x*sin(x)+e^x*cos(x) [/mm] und f´´(x)= [mm] [e^x*sin(x)+e^x*cos(x)]+[e^x*cos(x)+e^x*(-sin(x))]
[/mm]
Ist das bis hierhin richtig? Und wie muß ich jetzt weiter vorgehen?
LG, Lula
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 16:41 Mi 18.06.2008 | | Autor: | djmatey |
> Hallo zusammen,
Hallo Lula,
> hätte eine Frage zu folgender Aufgabe: Bestimme, in
> welchem Punkt die Funktion ein lokales Max. bzw. Min. hat:
> [mm]f(x)=e^x*sin(x).[/mm] Zunächst habe ich mal die Ableitungen
> versucht: [mm]f´(x)=e^x*sin(x)+e^x*cos(x)[/mm] und f´´(x)=
> [mm][e^x*sin(x)+e^x*cos(x)]+[e^x*cos(x)+e^x*(-sin(x))][/mm]
> Ist das bis hierhin richtig?
Jau, außer, dass bei der Ableitung f' stehen muss statt f.
>Und wie muß ich jetzt weiter
> vorgehen?
Klammere erstmal [mm] e^{x} [/mm] aus, sowohl bei der ersten als auch bei der zweiten Ableitung. Für welche x wird die erste Ableitung 0? Beachte dabei, dass [mm] e^{x} [/mm] oberhalb der x-Achse verläuft! Setze diese x nun in die zweite Ableitung ein.
An den Stellen x, an denen die zweite Ableitung größer bzw. kleiner als 0 ist, befindet sich ein Minimum bzw. Maximum von f. Ist die zweite Ableitung gleich 0, muss ein Vorzeichenwechsel bei f' überprüft werden.
> LG, Lula
>
LG djmatey
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 17:29 Mi 18.06.2008 | | Autor: | lula |
Danke für die Antwort!
Benutze ich zur Nullstellenbestimmung das Newton-Verfahren oder gibt es da hier was besseres? Hab das noch nicht´so ganz raus mit den trigonometrischen Funktionen...
LG, Lula
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(Antwort) fertig | | Datum: | 17:44 Mi 18.06.2008 | | Autor: | djmatey |
Hi,
also sin(x) hat ja Nullstellen bei [mm] z*\pi, [/mm] wobei [mm] z\in\IZ.
[/mm]
cos(x) entsprechend bei [mm] z*\bruch{\pi}{2}, [/mm] wobei z ungerade und ganz.
Am besten zeichnest Du Dir die Funktionen mal auf.
Betrachte jetzt -cos(x), d.h. cos(x) wird an der x-Achse gespiegelt.
Dich interessiert ja die Gleichung sin(x) = -cos(x)
Wo liegen die Schnittpunkte der Funktionen sin(x) und -cos(x)?
Auch hier liegt eine Periodizität vor.
LG djmatey
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 18:17 Mi 18.06.2008 | | Autor: | lula |
Hm, ich glaube, ich verstehe den Zusammenhang noch nicht ganz. Also die Schnittpunkte ist bei [mm] z*1/4*\pi. [/mm] Aber wie bringe ich dann die e-funktion wieder dazu?
LG, Lula
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(Antwort) fertig | | Datum: | 18:36 Mi 18.06.2008 | | Autor: | leduart |
Hallo
[mm] f'(x)=e^x(sinx+cosx)
[/mm]
f'(x)=0 wenn einer der Faktoren 0 aber [mm] e^x [/mm] ist immer >0
also sinx+cosx=0 daraus sinx=-cosx durch cosx teilen:
tanx=-1 x=... (mehrere Werte! weil tan periodisch)
mit dem [mm] e^x [/mm] hat das nichts zu tun, su iehst nur, wo die Extremstelle ist.
mit f'' untersuchen obs Min oder Max.
Nur wenn du den Wert beim Max oder Min ausrechnen willst, dann musst du den gefundenen x-Wert wieder in [mm] f(x)=e^x*sinx [/mm] einsetzen.
Gruss leduart
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 11:25 Do 19.06.2008 | | Autor: | lula |
Ok, vielen Dank! Hab jetzt mal folgendes versucht:
cos(x)-sin(x)=0 [mm] \gdw [/mm] cos(x)=sin(x) [mm] \gdw 1=\bruch{sin(x)}{cos(x)}=tan
[/mm]
arctan(1)=x [mm] \Rightarrow [/mm] x=1/4*pi
Und wegen der Periodizität ist das dann z*1/4*pi. Ist das so richtig? Ist das jetzt die Lösung oder muss ich das jetzt noch einsetzen bzw. muss ich noch bestimmte Punkte bestimmen?
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 11:39 Do 19.06.2008 | | Autor: | lula |
Hmmm, eigentlich müssten das doch 3/4*pi sein....
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(Antwort) fertig | | Datum: | 11:45 Do 19.06.2008 | | Autor: | djmatey |
Richtig,
Du musst auch die Gleichung
sin(x)+cos(x) = 0
betrachten. Du hast versehentlich ein Minus gesetzt.
Formst Du die obige Gleichung so um, wie Du's schonmal gemacht hast, erhältst Du
tan(x)=-1
und dann stimmt's mit dem [mm] \bruch{3}{4} [/mm] ...
LG djmatey =)
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> Ok, vielen Dank! Hab jetzt mal folgendes versucht:
> cos(x)-sin(x)=0 [mm]\gdw[/mm] cos(x)=sin(x) [mm]\gdw 1=\bruch{sin(x)}{cos(x)}=tan[/mm]
Hallo,
als erste Ableitung hattest Du doch
[mm] f'(x)=e^x(sinx [/mm] + cosx).
Also ist f'(x)=0 für sinx + cosx=0,
dh. für [mm] tanx=\red{-}1.
[/mm]
Hieraus erhältst Du dann die Stellen, an denen Extremwerte vorliegen können.
Gruß v. Angela
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(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 12:48 Do 19.06.2008 | | Autor: | lula |
Ok, super! Vielen Dank, habt mir sehr geholfen!
LG, Lula
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