Bestimmung linearer Abbildung < Lineare Algebra < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 13:00 Mi 24.08.2005 | | Autor: | McHannu |
Moin,
ich hätte mal eine Frage:
Der ganze Spaß soll eine lineare Abbildung darstellen, meine Aufgabe ist es später Aussagen zur Matrix W (bezüglich der Standardbasen in Bild- und Urbildraum definiert), zu treffen, was kein Problem ist. Nur leider;) muss ich die Matrix erstmal herausfinden.
[mm] W*\begin{pmatrix} 1 \\ 0 \\ 0 \end{pmatrix}=\begin{pmatrix} 1 \\ 0 \\ 0 \end{pmatrix}
[/mm]
[mm] W*\begin{pmatrix} 1 \\ 1 \\ 0 \end{pmatrix}=\begin{pmatrix} 1 \\ 1 \\ 1 \end{pmatrix}
[/mm]
[mm] W*\begin{pmatrix} 1 \\ 1 \\ 1 \end{pmatrix}=\begin{pmatrix} 0 \\ 0 \\ 1 \end{pmatrix}
[/mm]
Könnte mir mal jmd. auf die Sprünge helfen?
Danke, McHannu
Ich habe diese Frage in keinem Forum auf anderen Internetseiten gestellt.
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Hi,
der erste Vektor ist ja schon aus der Standardbasis, der zweite vektor nicht mehr, also e2 = v2 - v1 = [mm] \vektor{0 \\ 1 \\ 0} [/mm] und der dritte ergibt dann [mm] \vektor [/mm] { -1 [mm] \\ [/mm] -1 [mm] \\ [/mm] 0} und die dann als Matrix aufschreiben.
Britta
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(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 13:13 Mi 24.08.2005 | | Autor: | Marc |
Hallo Britta,
> das ist ganz einfach, du mußt die Bildvektoren einfach als
> Spalten von der Darstellungsmatrix auffassen, dann erhälst
> du
> [mm]\pmat{ 1 & 1 & 1 \\ 0 & 1 & 0 \\ 0 & 1 & 1 }[/mm]
>
> Das müßte es schon sein
Ganz so einfach ist es nicht, denn auf die von dir vorgeschlagene Weise funktioniert es nur mit den Bildern der Basisvektoren.
Viele Grüße,
Marc
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 13:22 Mi 24.08.2005 | | Autor: | Marc |
Hallo McHannu,
![[willkommenmr]](/images/smileys/willkommenmr.png "[willkommenmr]")
> ich hätte mal eine Frage:
> Der ganze Spaß soll eine lineare Abbildung darstellen,
> meine Aufgabe ist es später Aussagen zur Matrix W
> (bezüglich der Standardbasen in Bild- und Urbildraum
> definiert), zu treffen, was kein Problem ist. Nur leider;)
> muss ich die Matrix erstmal herausfinden.
> [mm]W*\begin{pmatrix} 1 \\ 0 \\ 0 \end{pmatrix}=\begin{pmatrix} 1 \\ 0 \\ 0 \end{pmatrix}[/mm]
>
> [mm]W*\begin{pmatrix} 1 \\ 1 \\ 0 \end{pmatrix}=\begin{pmatrix} 1 \\ 1 \\ 1 \end{pmatrix}[/mm]
>
> [mm]W*\begin{pmatrix} 1 \\ 1 \\ 1 \end{pmatrix}=\begin{pmatrix} 0 \\ 0 \\ 1 \end{pmatrix}[/mm]
>
> Könnte mir mal jmd. auf die Sprünge helfen?
Wenn die Vektoren [mm] $\begin{pmatrix} 1 \\ 0 \\ 0 \end{pmatrix}$, $\begin{pmatrix} 1 \\ 1 \\ 0 \end{pmatrix}$, $\begin{pmatrix} 1 \\ 1 \\ 1 \end{pmatrix}$ [/mm] Basisvektoren wären, könntest du einfach die Bildvektoren als Spalten der gesuchten Matrix nehmen (dies folgt sofort aus dem gleich vorgestellten allgemeinen Verfahren).
Da dies hier nicht der Fall ist, nimm' eine allgemeine Matrix [mm] $W=\pmat{ a&b&c \\ d&e&f \\ g&h&i }$ [/mm] her und stelle ein Gleichungssystem auf.
Aus deiner zweiten Vektorgleichung ergibt sich bspw.
a+b = 1
d+e = 1
g+h = 1
So erhältst du drei Gleichungssysteme mit jeweils drei Variablen und drei Gleichungen.
Viele Grüße,
Marc
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