Bestimmung eines Unterraumes < Funktionalanalysis < Analysis < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 13:37 Mo 15.07.2013 | | Autor: | fred97 |
| Aufgabe | Ich hab mal wieder eine schöne Aufgabe gefunden:
Sei [mm] \IK=\IR [/mm] oder [mm] \IK=\IC.
[/mm]
[mm] $l^2:=\{(x_j): x_j \in \IK \quad (j \in \IN) \quad und \quad \summe_{j=1}^{\infty}|x_j|^2< \infty \}$
[/mm]
Definiert man das Innenprodukt $(*|*)$ auf [mm] l^2 [/mm] wie folgt:
[mm] $(u|v):=\summe_{j=1}^{\infty}x_j*\overline{y_j}$ $(u=(x_j),v=(y_j)$),
[/mm]
so ist [mm] l^2 [/mm] bekanntlich ein Hilbertraum.
Nun sei $ [mm] \alpha \in \IK$, $\alpha \ne [/mm] 0$ und [mm] $|\alpha|<1$. [/mm] Für $k [mm] \in \IN$ [/mm] sei
[mm] $u_k:=(1,\alpha^k, (\alpha^2)^k, (\alpha^3)^k, [/mm] ....)$
und [mm] $U:=\overline{[u_1,u_2,u_3,...]}$,
[/mm]
(Dabei bedeutet [...] die lineare Hülle und die Abschließung ist bezügl. der von $(*|*)$ erzeugten Norm zu verstehen)
Frage: was ist U ? |
Wenn jemand aus dem Kreise der Moderatoren die Aufgabe in der üblichen Weise deklarieren würde, so wäre ich dieser Person sehr verbunden.
Grüße FRED
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(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 10:57 Mi 17.07.2013 | | Autor: | fred97 |
> Ich hab mal wieder eine schöne Aufgabe gefunden:
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> Sei [mm]\IK=\IR[/mm] oder [mm]\IK=\IC.[/mm]
>
> [mm]l^2:=\{(x_j): x_j \in \IK \quad (j \in \IN) \quad und \quad \summe_{j=1}^{\infty}|x_j|^2< \infty \}[/mm]
>
> Definiert man das Innenprodukt [mm](*|*)[/mm] auf [mm]l^2[/mm] wie folgt:
>
> [mm](u|v):=\summe_{j=1}^{\infty}x_j*\overline{y_j}[/mm]
> [mm](u=(x_j),v=(y_j)[/mm]),
>
> so ist [mm]l^2[/mm] bekanntlich ein Hilbertraum.
>
> Nun sei [mm]\alpha \in \IK[/mm], [mm]\alpha \ne 0[/mm] und [mm]|\alpha|<1[/mm]. Für [mm]k \in \IN[/mm]
> sei
>
> [mm]u_k:=(1,\alpha^k, (\alpha^2)^k, (\alpha^3)^k, ....)[/mm]
>
> und [mm]U:=\overline{[u_1,u_2,u_3,...]}[/mm],
>
> (Dabei bedeutet [...] die lineare Hülle und die
> Abschließung ist bezügl. der von [mm](*|*)[/mm] erzeugten Norm zu
> verstehen)
>
> Frage: was ist U ?
Schade, dass sich noch niemand an diese Aufgabe gewagt hat.
Zwei Tipps:
man nehme ein $u [mm] \in U^{\perp}$ [/mm] und bemühe den Identitätssatz für Potenzreihen.
FRED
> Wenn jemand aus dem Kreise der Moderatoren die Aufgabe in
> der üblichen Weise deklarieren würde, so wäre ich dieser
> Person sehr verbunden.
>
>
> Grüße FRED
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