Bestimmung einer kompl. Zahl < Sonstiges < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 11:44 Mo 06.08.2007 | | Autor: | Evoce |
| Aufgabe | | Bestimmen Sie alle komplexen Zahlen z mit [mm] z^{2} [/mm] = 2 + 4i. |
Über den Ansatz bin ich mir bewusst, komme aber an einer bestimmten Stelle absolut nicht weiter.
also, gesucht ist eine Zahl z = x + yi
(x + [mm] yi)^2 [/mm] = 2 + 4i
[mm] x^2 [/mm] + 2xyi + [mm] i^2y^2 [/mm] = 2 + 4i
[mm] (x^2 [/mm] - [mm] y^2) [/mm] + 2xyi = 2 + 4i
durch einen Koeffizientenvergleich erhalte ich nun die folgenden Gleichungen:
I: [mm] x^2 [/mm] - [mm] y^2 [/mm] = 2
II: 2xy = 4
wie aber mache ich nun weiter?
Ich habe diese Frage in keinem Forum auf anderen Internetseiten gestellt.
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> durch einen Koeffizientenvergleich erhalte ich nun die
> folgenden Gleichungen:
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> I: [mm]x^2[/mm] - [mm]y^2[/mm] = 2
> II: 2xy = 4
>
> wie aber mache ich nun weiter?
Hallo,
![[willkommenmr]](/images/smileys/willkommenmr.png "[willkommenmr]") .
Aus II folgt sofort, daß [mm] x\not=0 [/mm] ist.
Du kannst also durch x dividieren und erhältst
[mm] y=\bruch{2}{x}.
[/mm]
Hiermit kannst Du nun in I gehen, und die Gleichung [mm] x^2 [/mm] - [mm] (\bruch{2}{x})^2=2 [/mm] lösen.
(bedenke, daß Dich nur reelle Lösungen interessieren.)
Aus dem (oder den) von der berechneten x bekommst Du später durch Einsetzen in [mm] y=\bruch{2}{x} [/mm] die passenden y.
Gruß v. Angela
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 12:01 Mo 06.08.2007 | | Autor: | Evoce |
ich habe das mal gemacht und habe folgendes bekommen:
x = [mm] \pm\wurzel{1 \pm\wurzel{5}}
[/mm]
das würde dann für z ja 4 verschiedene lösungen geben. kann das sein?
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> ich habe das mal gemacht und habe folgendes bekommen:
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> x = [mm]\pm\wurzel{1 \pm\wurzel{5}}[/mm]
>
> das würde dann für z ja 4 verschiedene lösungen geben. kann
> das sein?
Hallo,
mit meinem Hinweis darauf, daß nur reelle Lösungen interessieren, hatte ich die gröbsten Schäden verhindern wollen...
1- [mm] \wurzel{5} [/mm] ist doch negativ!
Die Gleichung [mm] x^2=1- \wurzel{5}, [/mm] welche Du u.a. zu lösen hattest, hat keine Lösung in den reellen Zahlen.
Es bleiben für z also nur noch zwei Lösungen übrig.
Gruß v. Angela
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(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 12:10 Mo 06.08.2007 | | Autor: | Evoce |
Ach das hattest du damit gemeint. Jetzt seh ich das auch ganz deutlich.
Vielen Dank
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Hallo Evoce!
Alternativ zu Deinem Lösungsweg kannst Du auch die ![[]](/images/popup.gif) Moivre-Fromel verwenden.
Dabei gilt dann für $z \ = \ 2+4i$ :
[mm] $\wurzel{z} [/mm] \ = \ [mm] z^{\bruch{1}{2}} [/mm] \ = \ [mm] r^{\bruch{1}{2}}*\left[\cos\left(\bruch{\varphi+k*2\pi}{2}\right)+i*\sin\left(\bruch{\varphi+k*2\pi}{2}\right)\right]$ [/mm] mit $k \ = \ 0...1$ .
Gruß vom
Roadrunner
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