Bestimmung einer ganzrat. Funk < Ganzrationale Fktn < Analysis < Oberstufe < Schule < Mathe < Vorhilfe
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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 19:40 Di 06.03.2012 | | Autor: | Fee |
| Aufgabe | | Ein Graph geht durch die Punkte A(0/0) und D(5/1). Bestimmen Sie die ganzrationale Funktion. |
Hallo :)
Hier ist kein Grad angegeben :( Wie finde ich den heraus ??? Und kann man an den Punkten erkennen, ob ein Extrempunkt oder Wndepunkt vorliegt ???
Dankeschön :)
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moin Fee,
Du kannst den Grad recht beliebig wählen.
Hast du $n$ Punkte gegeben und willst eine Polynomfunktion dadurch legen, so muss das Polynom (im Allgemein) mindestens Grad $n-1$ haben.
Es gibt ein paar Ausnahmen (etwa wenn alle Punkte auf einer Geraden liegen), aber für allgemeine $n$ Punkte reicht immer ein Polynom vom Grad $n-1$.
Hier hast du 2 Punkte, das Polynom sollte also gerne Grad 1 haben.
Du kannst gerne ein Polynom vom Grad 20 nehmen oder recht belieibig, aber meist ist der niedrigste Grad doch der einfachste.
lg
Schadow
PS: Und nein, an den Punkten kannst du nicht erkennen, ob es Extrem- oder Wendepunkte sind.
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 21:22 Di 06.03.2012 | | Autor: | Giraffe |
Moin Shadowmaster,
> Du kannst den Grad recht beliebig wählen.
Wieso?
Ich habe in eine gz.-rat.Fkt ersten Grades (y=mx+b) einmal (0/0) eingesetzt u. danach (1/5), daraus ergeben sich
b=0 und m=5
zus.gebaut: y=5x
So, das wäre eine mögliche gz.-rat-Fkt.
Dann habe ich die gleichen beiden Punkte in eine gz-rat.Fkt. zweiten Grades [mm] (y=ax^2+bx+c) [/mm] eingesetzt, mit dem Ergebnis, dass ich nur eine Gleichg. habe, aber zwei Unbekannte
5=a+b
Wähle ich nun ein Polynom, dass noch ein Grad höher ist, kann da nix bei rauskommen, wenn schon hier nix bei rauskommt.
Danach kann es doch nur die Fkt. 1.Grades sein y=5x
Wieso sagst du, dass ich Polynome n-ten Grades (also beliebig) wählen kann?
> Hast du [mm]n[/mm] Punkte gegeben und willst eine Polynomfunktion
> dadurch legen, so muss das Polynom (im Allgemein)
> mindestens Grad [mm]n-1[/mm] haben.
Ach so, hat man mehrere Punkte, dann kann man auch mehrere Gleichungen aufstellen u. so dann an die ganzen Begleiter vom x rankommen (nennt man die Parameter?).
> Es gibt ein paar Ausnahmen (etwa wenn alle Punkte auf
> einer Geraden liegen), aber für allgemeine [mm]n[/mm] Punkte reicht
> immer ein Polynom vom Grad [mm]n-1[/mm].
> Hier hast du 2 Punkte, das Polynom sollte also gerne Grad
> 1 haben.
Aha, d.h. wenn z.B. 5 Koordinaten gegeben sind, dann fange ich mit einem Polynom 4.Grades (gz.-rat.-Fkt. 4.Grades) an.
Gruß
Sabine
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> Moin Shadowmaster,
> > Du kannst den Grad recht beliebig wählen.
>
> Wieso?
> Ich habe in eine gz.-rat.Fkt ersten Grades (y=mx+b)
> einmal (0/0) eingesetzt u. danach (1/5), daraus ergeben
> sich
> b=0 und m=5
> zus.gebaut: y=5x
> So, das wäre eine mögliche gz.-rat-Fkt.
>
> Dann habe ich die gleichen beiden Punkte in eine
> gz-rat.Fkt. zweiten Grades [mm](y=ax^2+bx+c)[/mm] eingesetzt, mit
> dem Ergebnis, dass ich nur eine Gleichg. habe, aber zwei
> Unbekannte
> 5=a+b
hallo,
aus der gleichung folgt direkt b=5-a
setzt man das nun in den ansatz
[mm] y=ax^2+bx
[/mm]
[mm] =ax^2+(5-a)x
[/mm]
kann man sich nun ein a aussuchen, und es geht immer durch die beiden punkte!
je höher die ordnung wird, desto mehr freiheitsgrade bei den unbekannten bekommt man
> Wähle ich nun ein Polynom, dass noch ein Grad höher ist,
> kann da nix bei rauskommen, wenn schon hier nix bei
> rauskommt.
> Danach kann es doch nur die Fkt. 1.Grades sein y=5x
>
> Wieso sagst du, dass ich Polynome n-ten Grades (also
> beliebig) wählen kann?
>
> > Hast du [mm]n[/mm] Punkte gegeben und willst eine Polynomfunktion
> > dadurch legen, so muss das Polynom (im Allgemein)
> > mindestens Grad [mm]n-1[/mm] haben.
> Ach so, hat man mehrere Punkte, dann kann man auch mehrere
> Gleichungen aufstellen u. so dann an die ganzen Begleiter
> vom x rankommen (nennt man die Parameter?).
>
> > Es gibt ein paar Ausnahmen (etwa wenn alle Punkte auf
> > einer Geraden liegen), aber für allgemeine [mm]n[/mm] Punkte reicht
> > immer ein Polynom vom Grad [mm]n-1[/mm].
> > Hier hast du 2 Punkte, das Polynom sollte also gerne
> Grad
> > 1 haben.
> Aha, d.h. wenn z.B. 5 Koordinaten gegeben sind, dann fange
> ich mit einem Polynom 4.Grades (gz.-rat.-Fkt. 4.Grades)
> an.
>
> Gruß
> Sabine
gruß tee
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 21:45 Di 06.03.2012 | | Autor: | Giraffe |
Moin Tee,
>> 5=a+b
Du: -a
dann b=5-a
einsetzten in [mm] y=ax^2+bx
[/mm]
dann
> [mm]=ax^2+(5-a)x[/mm]
ich habe die Klammmer aufgelöst
[mm] y=ax^2+5x+xa
[/mm]
Kann jetzt aber nicht weiter. Wie soll ich jetzt daraus ne Fkt. aufstellen?
Du an dieser Stelle:
> kann man sich nun ein a aussuchen, und es geht immer durch
> die beiden punkte!
ein a aussuchen?
Was ist gemeint?
Gruß
Sabine
(guck aber erst morgen wieder - jetzt ist Feierabend)
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Hallo!
> ein a aussuchen?
> Was ist gemeint?
genau das. Egal, welchen Wert du für a nimmst, die Funktion geht immer durch (5|1). Guckstdu:
[Dateianhang nicht öffentlich]
Dateianhänge:
Anhang Nr. 1 (Typ: png) [nicht öffentlich]
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 22:11 Mi 07.03.2012 | | Autor: | Giraffe |
| Aufgabe | Ein Graph geht durch (0/0) und (5/1).
Best. die gz-rat.-Fkt. |
Hallo Event-Horizon,
was für ein schönes Bild!
$ [mm] =ax^2+(5-a)x [/mm] $
"kann man sich nun ein a aussuchen", schrieb Tee.
Und ich dachte: entweder den Koeffizienten von [mm] x^2 [/mm] oder das a aus der Klammer. Ich verstand: Man kann sich eines von beiden aussuchen.
Nicht: Man kann für a einen beliebigen Wert wählen.
Aber dein Bild hat das geklärt.
Trotzdem habe ich mich gefragt (nach deinem Bild)
Wenn a eine beliebige Größe sein kann, dann kann ich die oder eine Fkt. doch gar nicht bestimmen. a ist dann doch variabel.
D.h. mit den beiden Koordinaten kann ich eine gz-rat.Fkt. 1.Grades eindeutig bestimmen. Alle anderen höheren Grades nicht.
Aufg.
Best. die gz-rat.-Fkt.
Lösg.
y=5x
Will ich die Aufg. aber anders verstehen:
Best. eine gz-rat.-Fkt.
Lösg.
y=5x oder
y=$ [mm] =ax^2+(5-a)x [/mm] $ oder
und wie würde ich es bei einer kubischen machen?
[mm] y=ax^3+bx^2+cx+d
[/mm]
d=0, weil durch (0/0)
(5/1)
f(1)=5=a+b+c
1) a=5-b-c
2) b=5-a-c
3) c=5-a-b
ich will das b rausschmeissen
1) a=5-(5-a-c)
3) c=5-a-(5-a-c)
jetzt das c aus 3) einsetzen in 1)
Aber wenn ich vorher die Klammer auflöse, dann
c=c
ohne Klam. auflösen u. so einsetzen
a=a-c
Es gibt doch nur eine einzige Möglichkeit, wann diese Gleichg. richtig ist, nämlich wenn c=0
Aber wie geht´s jetzt weiter?
(aber mit einem Polynom 4.ten Grades will ich es nicht mehr probieren)
Ich kann aber erst morg., Do, hier wieder gucken.
Gute Nacht.
Sabine
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> Ein Graph geht durch (0/0) und (5/1).
> Best. die gz-rat.-Fkt.
Hallo,
es ist halt die Aufgabenstellung verkrutzt - und ich verdächtige Fee, dies in jugendlichem Leichtsinn durch leichte Veränderung/Verkürzung des Aufgabentextes verzapft zu haben.
Sinnvoll wären diese Arbeitsaufträge:
- Bestimme die ganzrationale Funktion kleinsten Grades
- Bestimme eine ganzrationale Funktion
- Bestimme eine ganzrationale Funktion vom Grad 2 (oder 3 oder 4 oder ...)
- Bestimme alle ganzrationalen Funktionen vom Grad 2 (oder 3 oder 4 oder...)
> Trotzdem habe ich mich gefragt (nach deinem Bild)
> Wenn a eine beliebige Größe sein kann, dann kann ich die
> oder eine Fkt. doch gar nicht bestimmen. a ist dann doch
> variabel.
> D.h. mit den beiden Koordinaten kann ich eine gz-rat.Fkt.
> 1.Grades eindeutig bestimmen. Alle anderen höheren Grades
> nicht.
> Aufg.
> Best. die gz-rat.-Fkt.
> Lösg.
> y=5x
"Die" ganzrationale Funktion gibt es hier nicht.
"Die" ganzrationale Funktion 1. Grades bzw. kleinsten Grades gibt es, wie Du auch feststellst.
Für höhere Grade kann ich "eine" gazrationale Funktion angeben, oder auch sagen, wie "alle" ganzrationalen Funktionen beispielsweise 2. Grades aussehen, die durch diese Punkte gehen. Nämlich [mm] f_a(x)=$ =ax^2+(5-a)x [/mm] $ mit [mm] a\in \IR. [/mm] (Eigentlich müßte man noch erwähnen , daß [mm] a\not=0, [/mm] denn sonst wäre der grad nicht 2.)
Es ist also eine Schar von Funktionen zweiten Grades, die diese Bedingungen erfüllen.
Soll ich nur eine angeben, kann ich etwa [mm] f_{17}=17x^2-12x [/mm] nehmen. Da gibt's viel Auswahl.
> und wie würde ich es bei einer kubischen machen?
> [mm]y=ax^3+bx^2+cx+d[/mm]
> d=0, weil durch (0/0)
> (5/1)
> f(1)=5=a+b+c
Genau.
Wir sehen hier: die Gleichungen sind erfüllt, sofern wir c so wählen, daß c=5-a-b ist. a und b unterliegen keinen weiteren Einschränkungen (außer [mm] a\not=0 [/mm] wegen des Grades)
Wir bekommen also, daß alle ganzrationalen Funktionen 3. Grades der Gestalt
[mm] f(x)=ax^3+bx^2+(5-a-b)x [/mm] mit [mm] a,b\in \IR, a\not=0 [/mm] durch die vorgegebenen Punkte gehen.
Man hätte es auch mit den Parametern b und c schreiben können:
a=5-b-c, damit bekommt man
[mm] f(x)=(5-b-c)x^3+bx^2+cx [/mm] mit [mm] b,c\in \IR, b+c\not=5 [/mm] (wegen des Grades).
LG Angela
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(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 21:37 Do 08.03.2012 | | Autor: | Giraffe |
Hallo Angela,
vielen DANK für deine klärende Antw.
Das Wort Funktionenschar hatte ich schon öfter gehört, aber nie wirklich gewusst, was gemeint war. Jetzt habe ich zumindest schon mal eine gesehen u. dass das nur mit "Variablen" geht. Schön! Sieht gut aus.
Erinnert mich an mein Spiograph, damals als Kind.
Ich hatte, wie gesagt, noch nie etwas mit Funktionenscharen zu tun u. auch musste ich noch nie aus 2 Koordinaten eine Fkt. bestimmen (glaube ich). Dachte, es käme nur die y=5x in Frage, aber nicht geahnt, dass das so erweiterbar ist mit den Variablen.
Ja, u. wie du die Aufg.stellungen präzisierst leuchtet auch ein.
Danke dir!!!!!
Mathe ist doch schön!
Gruß
Sabine
Sabine
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