Bestimmung des Zwischenwinkel < Lin. Algebra/Vektor < Oberstufe < Schule < Mathe < Vorhilfe
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(Frage) reagiert/warte auf Reaktion  | | Datum: | 13:20 Fr 17.03.2006 | | Autor: | patrizia |
| Aufgabe | Von den Vektoren [mm] \vec{a} [/mm] und [mm] \vec{ b} [/mm] weiss man, dass [mm] a=3\*b\not=0 [/mm] (Beziehung zwischen den Längen) und das [mm] \ve{ a}-\vec{ b} [/mm] senkrecht ist zu [mm] \vec{a}+4\*\vec{ b}. [/mm] Wie gross ist der Zwischenwinkel von [mm] \vec{a} [/mm] und [mm] \vec{b}?
[/mm]
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Ich habe diesse Frage in keinem Forum auf anderen Internetseiten gestellt: Kann mir jedmand den Lösungsweg für diese Aufgabe erklären? Wir haben schon längere Zeit daran rumgeknobbelt, haben aber keinen guten Ansatz gefunden!
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(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 13:34 Fr 17.03.2006 | | Autor: | statler |
Hallo Patrizia,
da hat der Formel-Editor versagt!
Gruß aus HH-harburg
Dieter
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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 16:51 Fr 17.03.2006 | | Autor: | patrizia |
| Aufgabe | | Von den Vektoren [mm] \vec{a} [/mm] und [mm] \vec{b} [/mm] weiss man, dass [mm] a=3\*b\not=0 [/mm] (Beziehung zwischen den Längen) und dass [mm] \vec{a}-\vec{b} [/mm] senkrecht ist zu [mm] \vec{a}+4\*\vec{b}. [/mm] Wie gross ist der Zwischenwinkel von [mm] \vec{a} [/mm] und [mm] \vec{b}? [/mm] |
Hoffentlich klappt es dieses mal!
Was wir bis jetzt versucht haben ist, den Ansatz anhand einer Skizze zu finden, aber das hat auch nich geholfen. Wir versuchten es mit dem Skalarprodukt, aber das Problem ist, das wir immer zu viele Unbekannte haben. Weiss jemand wie man diese Aufgabe lösen kann?
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 22:32 Fr 17.03.2006 | | Autor: | chrisno |
Nutze das senkrecht stehen aus. Dann ist das Skalarprodukt null.
[mm](\vec{a}-\vec{b})\*(\vec{a}+4\*\vec{b})=0[/mm]
Wenn Du das ausmultiplizierst steht eine Summe aus Termen mit a, b und cos(ab) da, die weiterhin null ist. Über die Längenbeziehung kannst Du dann b durch a ersetzen.
Im nächsten Schritt kannst Du auch noch a ganz beseitigen ("kürzen").
Dann steht da nur noch cos(ab) = irgendwas. Daraus folgt der Winkel.
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 09:08 Sa 18.03.2006 | | Autor: | patrizia |
Erst mal vielen Dank für die Antwort!!!
Leider habe ich den Lösungsweg aber noch nicht ganz verstanden.
Zuerst habe ich [mm] \wurzel{(ax)^{2}+(ay)^{2}+(az)^{2}}=3\*\wurzel{(bx)^{2}+(by)^{2}+(bz)^{2}} [/mm] nach b aufgelöst und b= |a |/3 erhalten
Danach habe ich in den Vektor [mm] \vec{b}=\vektor{bx\\by\\bz} [/mm] für b=|a|/3 eingesetzt und dann das Skalarprdukt aufgeschrieben:
[mm] \vektor{ax\\ay\\az}-\vektor{|a|/3*x\\|a|/3*y\\|a|/3*z}\*\vektor{ax\\ay\\az}+4*\vektor{|a|/3*x\\|a|/3*y\\|a|/3*z\\}=0
[/mm]
Wie muss ich jetzt a ersetzen oder umschreiben?
Ich dachte zuerst ich kann aus dem Skalarprodukt das mit 0 gleichgesetzt wird eine Gleichungssystem aufstellen und dann nach x, y und z auflösen, aber ich habe nur jede Menge komische Resultate erhalten mit denen ich nichts anzufangen weiss:
x=@2, y=0, z=0, a=0
x=@5, y=@4, z=0, a=0
x=@8, y=0, z=@7, a=0
x=@13, y=@12, z=@11, a=0
x=0, y=@3, z=0, a=0
x=0, y=@10, z=@9, a=o
x=0, y=0, z=@6, a=0
x=0, y=0, z=@6, a=0
x=0, y=0, z=0
An diesem Punkt komme ich einfach nicht mehr weiter...
kann mir jemand helfen?
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(Antwort) fertig | | Datum: | 11:54 Sa 18.03.2006 | | Autor: | chrisno |
Du machst Dir so viel zu viel Arbeit. Schreibe nie a und b mit Klammern, laß immer [mm]\vec{a}[/mm] so stehen. Rechne also erst mal das Skalarprodukt aus, in dem du ausmultiplizierst. Im Einzelnen:
steht dann da: a*a + 4*b*a - b*a - 4*b*b. (bis dahin alles Vektoren)
Nichts Einsetzen!
Fasse die Terme mit b*a zusammen und schreibe dafür das Skalarprodukt
b*a*cos(Winkel zwischen b und a) (das hatte ich sehr schlurig mit cos(ab) geschrieben. Nun sind b und a schon die Längen.
Nun erstze überall a durch 3b.
Buis dahin hast Du noch nie spezielle Werte für a und b benutzt, die brauchst Du auch nie.
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